Problemi di max e min di geometria analitica

a. 

Scriviamo l'equazione del fascio di parabole avente vertice V(-2, 0) in comune (vertex form) per poi imporre il passaggio per A(0,4). In alternativa si può risolvere il sistema di 3 equazioni nelle tre incognite a, b, c.

$ Γ: y  = a(x-x_v)^2 + y_v \; ⇒ \; a(x+2)^2 $         fascio o formula del Vertice

$ 4  = a(0+2)^2 \; ⇒ \; a = 1 $

L'equazione della parabola γ è $y = (x+2)^2$ 

b. Equazione della parabola γ' simmetrica della precedente rispetto all'asse delle y.

La trasformazione della simmetria rispetto all'asse y è

$\left\{\begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= y \end{aligned} \right. $

per cui

γ': $\quad y' = (-x'+2)^2 \; ⇒ \; y' = (x'-2)^2$

c. 

grafico

https://www.desmos.com/calculator/riqswxc2vu

Essendo simmetrica rispetto all'asse y l'area del rettangolo PQQ'P' sarà massima quando sarà massima l'area del rettangolo $x_q \cdot y_q$

-) L'altezza del rettangolo vale t

-) La base si ottiene risolvendo il sistema retta y=t con la parabola γ'

$ \left\{\begin{aligned} y &= t \\ y &= (x-2)^2 \end {aligned} \right. $

dal quale si ricava 

$ x^2-4x+4-t = 0 $

La cui due soluzioni sono:

1. $ x_1 = 2 + \sqrt{t}$    punto a cui non siamo interessati
2. $ x_2 = 2 - \sqrt{t}$    punto Q

L'area A* del rettangolo ridotto sarà

A* =  t ( 2-\sqrt{t}) = 2t - t\sqrt{t} $ 

da notare che l'area A del rettangolo PQQ'P' sarò semplicemente il doppio

$ A = 4t - 2t\sqrt{t} $

Cerchiamo il punto stazionario

$A' = 4 - 3\sqrt{t} \; ⇒ \; A' = 0  \; ⇒ \; t = \frac{16}{9}$

Proviamo che trattasi di un massimo

A"$(t) = -\frac{3}{2\sqrt{t}} $ dalla quale ricaviamo A"$(\frac{16}{9}) = -\frac{9}{8} $ negativo quindi un massimo.