Problemi di max e min di geometria analitica

$ γ_1 :   y = x^2$

$ γ_2 :   y = 4x-x^2$

a.

i) Determiniamo l'esistenza di punti di intersezione tra parabola  γ₁ e retta y = t, tramite il sistema

$ \left \{ \begin{aligned} y &= x^2 \\ y &= t \end{aligned} \right.$

E' evidente che il sistema ammette soluzioni reali per t ≥ 0, vedi grafico

https://www.desmos.com/calculator/fba5dxjgzk

ii) Determiniamo l'esistenza di punti di intersezione tra parabola  γ₂ e retta y = t, tramite il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= 4x - x^2 \\ y &= t \end{aligned} \right. $

$ x^2-4x+t = 0 $

l'equazione ammette soluzioni reali se il discriminante è non negativo, cioè

$ Δ = 16-4t ≥ 0 \; ⇒ \; t ≤ 4 $

iii) Le due condizioni saranno contemporaneamente soddisfatte per i valori di t tali che

0 ≤ t ≤ 4

b.

Calcoliamo le due corde e massimizziamo, come richiesto, la loro somma.

i) c₁ ovvero corda staccata su γ₁

Questa volta risolviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= x^2 \\ y &= t \end{aligned} \right.$

dalle due soluzioni $ x_{1,2} = \pm \sqrt{t}$ ricaviamo la lunghezza della corda

$ c_1 = x_1 - x_2 = 2\sqrt{t}$

Analogamente si procede per 

ii) c₂ ovvero corda staccata su γ₂

Questa volta risolviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= 4x - x^2 \\ y &= t \end{aligned} \right.$

dalle due soluzioni $ x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4-t}$ ricaviamo la lunghezza della corda

$ c_2 = x_1 - x_2 = 2\sqrt{4-t}$

 iii) definiamo la funzione c(t) "Lunghezze delle corde"

$ c(t) =2\sqrt{t}+2\sqrt{4-t}$

$ c'(t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{4-t}$

Punti stazionari c'(t) = 0

$ \frac{1}{t} = \frac{1}{4-t}$  

$ 4-t = t \; ⇒ \; t = 2$

Per certificare che sia un massimo possiamo considerare la derivata seconda che risulta essere negativa nel punto t = 2, anzi per ogni t ove definita.

 c"$(t) = -\frac{1}{2\sqrt{t^3}} - \frac{1}{2\sqrt{(4-t)^3}} $