[Risolto] PROBLEMI DI MATEMATICA

1)

Per prima cosa calcolo il valore di $x$:  applicando il teorema di Pitagora so che il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti.

$25x^2 = 16x^2 + 900 - 180x + 9x^2 $

I termini al quadrato si annullano e rimane $180x = 900$  da cui si ricava $x = 5$.

Adesso so che:

$AB = 25$

$BC = 20$ 

$AC = 15$

Adesso calcolo il valore dell'angolo compreso tra $AC$ e $AB$ applicando il teorema dei seni:

$\frac{AB}{sen(90°)} = \frac{CB}{sen(θ)}$ 

-->  $25 = \frac{20}{sen(θ)}$ 

-->  $sen(θ) = \frac{4}{5}$ 

-->  $θ = arcsen(4/5) = 53,13°$

Fatto questo, calcolo il valore dell'angolo compreso tra $AC$ e $AD$:

--> $α = 90° - 53,13° = 36,87°$

Applicando due formule di trigonometria trovo i valori di $AD$ e $DC$:

$AD = AC* cos(α) = 15*cos(36,87°) = 12$

$DC = AC*sen(α) = 15*sen(36,87) = 9$

Perimetro = $25+20+9+12 = 66$

Area = $(25+9)*12/2 = 204$

2)

Se chiamo $x$ il lato del quadrato allora il lato dell'esagono, essendo il 2$5%$ del lato del quadrato, vale $\frac{1}{4}x$, di conseguenza il lato del pentagono vale $\frac{1}{2}x +1$.

Perimetro quadrato = $4x$

Perimetro esagono = $6*\frac{1}{4}x = \frac{3}{2}x$

Perimetro pentagono = $5*(\frac{1}{2}x + 1) = \frac{5}{2}x + 5$

a)

  Devo fare in modo che il perimetro del quadrato sia uguale alla differenza tra il perimetro del     pentagono e quello dell'esagono:

  $\frac{5}{2}x + 5 - \frac{3}{2}x = 4x$ 

  --> $x = \frac{5}{3}$

b)

  Calcolo l'area del quadrato costruita sul lato del pentagono diminuita di 2 :

$(\frac{1}{2}x +1)^2 -2 = \frac{1}{4}x^2 + x - $1

Calcolo il prodotto dei lati di esagono e quadrato: $\frac{1}{4}x * x = \frac{1}{4}x^2$

Eguaglio le due espressioni che ho trovato e risolvo l'equazione:

$\frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{4}x^2 + x - 1$

-->  $x - 1 = 0$

-->  $x = 1$