1)
Per prima cosa calcolo il valore di $x$: applicando il teorema di Pitagora so che il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti.
$25x^2 = 16x^2 + 900 - 180x + 9x^2 $
I termini al quadrato si annullano e rimane $180x = 900$ da cui si ricava $x = 5$.
Adesso so che:
$AB = 25$
$BC = 20$
$AC = 15$
Adesso calcolo il valore dell'angolo compreso tra $AC$ e $AB$ applicando il teorema dei seni:
$\frac{AB}{sen(90°)} = \frac{CB}{sen(θ)}$
--> $25 = \frac{20}{sen(θ)}$
--> $sen(θ) = \frac{4}{5}$
--> $θ = arcsen(4/5) = 53,13°$
Fatto questo, calcolo il valore dell'angolo compreso tra $AC$ e $AD$:
--> $α = 90° - 53,13° = 36,87°$
Applicando due formule di trigonometria trovo i valori di $AD$ e $DC$:
$AD = AC* cos(α) = 15*cos(36,87°) = 12$
$DC = AC*sen(α) = 15*sen(36,87) = 9$
Perimetro = $25+20+9+12 = 66$
Area = $(25+9)*12/2 = 204$
2)
Se chiamo $x$ il lato del quadrato allora il lato dell'esagono, essendo il 2$5%$ del lato del quadrato, vale $\frac{1}{4}x$, di conseguenza il lato del pentagono vale $\frac{1}{2}x +1$.
Perimetro quadrato = $4x$
Perimetro esagono = $6*\frac{1}{4}x = \frac{3}{2}x$
Perimetro pentagono = $5*(\frac{1}{2}x + 1) = \frac{5}{2}x + 5$
a)
Devo fare in modo che il perimetro del quadrato sia uguale alla differenza tra il perimetro del pentagono e quello dell'esagono:
$\frac{5}{2}x + 5 - \frac{3}{2}x = 4x$
--> $x = \frac{5}{3}$
b)
Calcolo l'area del quadrato costruita sul lato del pentagono diminuita di 2 :
$(\frac{1}{2}x +1)^2 -2 = \frac{1}{4}x^2 + x - $1
Calcolo il prodotto dei lati di esagono e quadrato: $\frac{1}{4}x * x = \frac{1}{4}x^2$
Eguaglio le due espressioni che ho trovato e risolvo l'equazione:
$\frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{4}x^2 + x - 1$
--> $x - 1 = 0$
--> $x = 1$
