TEOREMA
In un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
Con riferimento alla figura in basso possiamo esprimere il teorema dei seni con la formula:
$$
\frac{a}{\sin (\alpha)}=\frac{b}{\sin (\beta)}=\frac{c}{\sin (\gamma)}
$$
Ipotesi $A B C$ triangolo qualunque.
Tesi $\frac{a}{\operatorname{sen} \alpha}=\frac{b}{\operatorname{sen} \beta}=\frac{c}{\operatorname{sen} \gamma}$.
Dimostrazione del teorema dei seni
Consideriamo un triangolo $A B C$ inscritto in una circonferenza di diametro $2 r$.
Applichiamo il teorema della corda ai lati del triangolo $A B C$ :
$$a=2 r \cdot \operatorname{sen} \alpha, \quad \text { da cui } \quad \frac{a}{\operatorname{sen} \alpha}=2 r ;$$
$$b=2 r \cdot \operatorname{sen} \beta, \quad \text { da cui } \quad \frac{b}{\operatorname{sen} \beta}=2 r ; $$
$$c=2 r \cdot \operatorname{sen} \gamma, \quad \text { da cui } \quad \frac{c}{\operatorname{sen} \gamma}=2 r .$$
Confrontando le relazioni precedenti, essendo i tre rapporti uguali alla misura del diametro della circonferenza, possiamo concludere che:
$$
\frac{a}{\operatorname{sen} \alpha}=\frac{b}{\operatorname{sen} \beta}=\frac{c}{\operatorname{sen} \gamma}=2 r
$$
Esempio del teorema dei seni
Calcoliamo la misura del lato $A B$ del triangolo $A B C$ sapendo che $\alpha=30^{\circ}$, $\beta=105^{\circ}$ e che la misura di $B C$ è $6 .$ Per poter applicare il teorema dei seni dobbiamo calcolare l’ampiezza dell’angolo $\gamma$ :
$$
\gamma=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+105^{\circ}\right)=45^{\circ} .
$$
Utilizziamo la relazione $\frac{a}{\operatorname{sen} \alpha}=\frac{c}{\operatorname{sen} \gamma}$ :
$\frac{6}{\operatorname{sen} 30^{\circ}}=\frac{c}{\operatorname{sen} 45^{\circ}} \rightarrow \frac{6}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
Ricaviamo $c=\frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=6 \sqrt{2}$