Problemi di massimo

AH = x;

HB = 2r - x;

i triangoli CHB e CMQ sono simili (angoli corrispondenti congruenti;

CM = CH/2;  

MQ = HB / 2;

MQ = (AB - AH) / 2;

MQ = (2r - x) /2 = r - x/2;

Per il 2° teorema di Euclide:

AH : CH = CH : HB;

x : CH = CH : (2r - x);

CH^2 = x * (2r - x);

CH = radice(2rx - x^2);

altezza trapezio = CH/2 = radice(2rx - x^2) / 2

Area trapezio  = (AB + MQ) * (CH/2) / 2;

Area = (AB + MQ) * CH / 4= ;

Area = [2r +  (r - x/2)] * [radice(2rx - x^2) / 4;

Area = [3r - x/2] * [radice(2rx - x^2)] / 4 ;

Area = [(6r - x) / 2] * [radice(2rx - x^2) / 4 ;

Area = [6r - x] * [radice(2rx - x^2) / 8 ;

Area massima per quale  valore  di x?

f(x) = [6r - x] * [radice(2rx - x^2) / 8;

f'(x) = 0; massimo dove si annulla la derivata prima di f(x);

f'(x) = 1/8 * {[- 1 * radice(2rx - x^2)] + (6r - x) * [ 1/2 * (2r - 2x) * (2r x - x^2)^-1/2])};

f'(x) = 1/8 * {[- radice(2rx - x^2)] + (6r - x) * (r - x) /[radice(2r x - x^2)]};

f'(x) = 1/8 * {[- radice(2rx - x^2)] + (6r^2 - 6rx - rx + x^2) /[radice(2r x - x^2)]};

f'(x) = 1/8 * {[- radice(2rx - x^2)] + (x^2  - 7rx + 6r^2) /[radice(2r x - x^2)]};

f'(x) = 1/8 * {[- (2rx - x^2) + (x^2  - 7rx + 6r^2)] /[radice(2r x - x^2)]};

f'(x) = 1/8 * { (- 2rx + x^2 + x^2  - 7rx + 6r^2) / [radice(2r x - x^2)] };

f'(x) = 1/8 * [2x^2 - 9rx + 6r^2] /[radice(2r x - x^2)] ;

deve essere:   radice(2r x - x^2) > 0 ; 2r x - x^2 > 0;

x^2 - 2rx < 0;  x * (x - 2r) < 0;    x deve essere minore di 2r .

f'(x) = 0;

2x^2 - 9rx + 6r^2 = 0;

x = [9r +- radice(81r^2 - 48r^2)] / 4;

x = [9r + - radice(33r^2) ] / 4;

x1 = [9r + radice(33) r] /4 = (9r + 5,744 r) / 4 = 3,7 r; non accettabile;

x2 = [9r - radice(33) r] /4 = (9r - 5,744 r) / 4 = 0,814 r; accettabile.

soluzione:

x = [9r - radice(33) r] /4 = 0,814 r;

tan(α) = CH / x;

tan(α) = radice(2rx - x^2) / x = radice[(2rx - x^2)/x^2];

tan(α) = radice[(2r - x)/x];

tan(α) = radice[(2r - 0,814 r) / 0,814r];

tan(α) = radice(1,457) = 1,207;

α = arctan(1,207) = 50,35°;

sen(α) = 0,770;

infatti:

sen(α) = radice{[radice(33) - 1]/8} = radice{[5,744 - 1]/8};

sen(α) = radice{4,744/8} = radice{0,593} = 0,770;

α = arcsen(0,770) = 50,35°.

Procedo assegnando la posizione di C tramite :

ΑΗ = x

ΒΗ = 2·r - x

ΜQ = 1/2·(2·r - x)

(Th Talete)

Α = 1/2·(2·r + 1/2·(2·r - x))·(√(x·(2·r - x))/2)

Α = 3·r·√(x·(2·r - x))/4 - x·√(x·(2·r - x))/8

A' =0----> (2·x^2 - 9·r·x + 6·r^2)/(8·√(x·(2·r - x))) = 0

2·x^2 - 9·r·x + 6·r^2 = 0

Risolvo:

x = r·(9/4 - √33/4) ∨ x = r·(√33/4 + 9/4)

(x = 0.8138593383·r ∨ x = 3.686140661·r)

Per ottenere il risultato del testo:

TAN(α) = √(x·(2·r - x))/x

TAN(α) = √((r·(9/4 - √33/4))·(2·r - r·(9/4 - √33/4)))/(r·(9/4 - √33/4))

TAN(α) = √(6·√33 + 18)/6

Υ = SIN(α)

√(6·√33 + 18)/6 = Υ/√(1 - Υ^2)

Υ = √(2·√33 - 2)/4-----> Υ = √((√33 - 1)/8)