Problemi di geometria

Una piramide retta è a base rombica con le diagonali BD di 6 cm ed AC di  8 cm . Sapendo che l'apotema VK della piramide è 7,4 cm, calcola:

a. La misura del raggio del cerchio inscritto nella base 

lato BC = √(6/2)^2+(8/2)^2 = √9+16 = 5,0 cm

raggio r = HK = altezza triangolo BCH = 3*4/5 = 2,40 cm 

 

b. La misura dell'altezza HV della piramide 

HV = √VK^2-r^2 = √7,4^2-2,4^2 = 7,00 cm 

 

c. L'area  laterale Al della piramide 

AL = perimetro*apotema /2 = 5*4*7,4/2 = 74 cm^2

 

d. L'area laterale Alc di un cubo equivalente a 27/7 della piramide

volume piramide Vp = area base*altezza/3 = (6*8)/2*7/3 = 6*8*7/6 = 56 cm^3

Volume cubo Vc = Vp*27/7 = 27*8 = 216 cm^3

spigolo del cubo sc = ³√216 = ³√3^3*2^3 = 6 cm

area lat. cubo Alc = 6^2*6 = 6^3 = 216 cm^2 

 

e. Il peso P della piramide, posto che sia di alluminio (ps 2,6).

P = Vp*ps = 56*2,6 = 145,60 grammi

 

Rombo di base della piramide.

Area $A= \frac{D×d}{2} = \frac{8×6}{2} = 24~cm^2$ (= area di base Ab della piramide);

lato $l= \sqrt{3^2+4^2} = 5~cm$ (teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti le semi-diagonali e per ipotenusa il lato incognito);

perimetro $2p= 4l = 4×5 = 20~cm$;

a) raggio del cerchio inscritto $r= \frac{2A}{2p} = \frac{2×24}{20} = 2,4~cm$.

b)  altezza della piramide $h= \sqrt{7,4^2-2,4^2} = 7~cm$ (teorema di Pitagora);

c) area laterale $Al= \frac{2p×ap}{2} = \frac{20×7,4}{2} = 74~cm^2$;

volume $V= \frac{Ab×h}{3} = \frac{24×7}{3} = 56~cm^3$;

volume cubo $V_c= \frac{27}{7}×56 = 216~cm^3$;

spigolo del cubo $s= \sqrt[3]{216} = 6~cm$;

d) area laterale del cubo $Al= s^2×n°facce = 6^2×4 = 144~cm^2$;

e) peso della piramide $V×ps = 56×2,6 = 145,6~g$ (ps= 2,6 g/cm^3).