[Risolto] problemi di fisica sulla gravitazione universale

3) Considera due stelle orbitanti attorno al loro comune centro di massa CM. La stella A ha massa Ma = 3 Ms e la stella B ha massa Mb = 4 Ms e sono separate da una distanza d pari a 7*10^10m. (Ms = 2,0 • 10^30 kg ; G = 6,67 *10^11 m^3/(s^2*kg) )

Determina:

le velocità tangenziali Va e Vb con cui ruotano le stelle attorno al centro di massa CM

 

da*Ma = db*Mb

da+db = 7*10^10 m 

(7-db)*3 = db*4

21 = 7db

db = 3*10^10 m

da = 4*10^10 m 

 

il  periodo orbitale in giorni terrestri.

dalla formula :

G*Ma*Mb/d^2 = Ma*Va^2/da = Mb*Vb^2/db

si ricava :

Va = √G*Mb*da/d^2 = √6,67*10^-11*8*10^30*4*10^10/(49*10^20) = 66.000 m/s

Ta = 4*10^10*6,283/(6,60*10^4*3600*24) = 44,07 gg terrestri

 

Vb = √G*Ma*db/d^2 = √6,67*10^-11*6*10^30*3*10^10/(49*10^20) = 49.500 m/s 

Tb = 3*10^10*6,283/(4,95*10^4*3600*24) = 44,07 gg terrestri

@nonsonulla2 stai esagerando, un esercizio per volta!!!

F = G * M * m /R^2;

R = h + R terra  = 110 000 m + 6,37 * 10^6 m = 6,48 * 10^6 m;

F = 6,67 * 10^-11 * 5,97 * 10^24 * 30 / (6,48 * 10^6 )^2;

F = 285 N (circa);

a = F / m = 285 / 30 = 9,5 m/s^2; accelerazione del meteorite;

La forza agente sulla terra è la stessa di quella sul meteorite;

a = F / M = 285 / (5,97 * 10^24) = 4,8 * 10^- 23 m/s^2; accelerazione della Terra.

La Terra non si muove in quanto ha una massa enorme rispetto al meteorite.

U = - G M m / R = - [6,67 * 10^-11 * 5,97 * 10^24 * 30 / (6,48 * 10^6 )];

U = - 1,85 * 10^9 J;

l'energia potenziale gravitazionale è negativa fino a quando il sistema è legato, cioè il meteorite e la terra si attraggono;

Il valore massimo di U è 0 J, quando il meteorite e la Terra sono a distanza infinita R tende all'infinito e la forza non agisce più.

Ciao  @nonsonulla2

1) Supponiamo di avere un meteorite di massa pari a 30 kg che dista dalla superficie terrestre di 110 km. (M = 5,97 x 10^24 kg; R= 6,37*10^6m).

Calcola la forza d'attrazione gravitazionale terrestre Fg sul meteorite.

campo gravitaz. @ h = 110 km = g' = M*G/(r+h)...dove M*G = 4,0*10^14 m^3/s^2

g' = 4,0*10^14/(6,48^2*10^12) = 9,526 m/s^2 

Fg = g'*m = 9,526*30 = 286 N

 

Calcola l'accelerazione a con cui viene attratto il meteorite dalla Terra.

a = g' = 9,526 m/s^2

 

Calcola l'accelerazione a' con cui viene attratta la Terra dal meteorite

a' = Fg/M = 286/5,97*10^24 = 4,79*10^-23 m/s^2

 

Calcola l'energia potenziale gravitazionale Ug nel punto in cui si trova il meteorite

Ug = -m*M*G/(r+h) = -30*4*10^14/(6,48*10^6) = -1,85 GJ

 

Quanto vale il valore massimo dell'energia potenziale gravitazionale?

vale zero per h → ∞

2) Supponiamo che si voglia lanciare un razzo di massa pari a 12 tonn. dalla superficie  di Venere.

Calcola la velocità di fuga Vf del razzo per sfuggire al campo gravitazionale di Venere.
(M = 4,87 x 10^24 kg; R= 6,05*10^6 m)

Vf = √2*M*G/R  = √2*4,87*10^24*6,674*10^-11/(6,05*10^6)  = 10.365,6 m/s

Calcola il valore minimo dell'energia cinetica che deve avere il razzo per sfuggire al campo gravitazionale di Venere.

Ek = m/2*Vf^2 = 12/2*10^3*1,0366^2*10^8 = 6,45*10^11 J (645 GJ)

 

Se il razzo si trovasse sulla Terra riuscirebbe a sfuggire al suo campo gravitazionale con la stessa Ek ? 

No

Perché?

perché sulla Terra V'f  = √8*10^14/(6,37*10^6) = 11.206 m/s > Vf