Esercizio 1:
quando il semaforo diventa verde, un'auto parte con un accelerazione a=3,0 m/s^2, mentre una seconda auto che sopraggiunge in quel momento continua la sua corsa con velocità costante v=72,0 Km/h. Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda?
Soluzione:
Usiamo per la prima auto la legge del moto uniformemente accelerato $x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$
dove $x_0=$ punto spaziale iniziale
$v_0=$velocità iniziale
$a=$accelerazione
Mentre per la seconda, che viaggia a velocità costante e dunque con accelerazione $a=0$, usiamo la legge del moto rettilineo uniforme: $x(t)=x_0+v_0t$
Dato che consideriamo il semaforo come punto iniziale del percorso per entrambe le auto, possiamo mettere $x_0=0$.
La legge dell'auto che parte da ferma ($v_0=0$) è: $x_1(t) = \frac12 3 t^2$
La legge dell'auto che sopraggiunge a velocità $v_0=72 \ km/h = \frac{72}{3.6} \ m/s = 20 \ m/s$ è:
$x_2(t) = 20t$
Dato che si affiancano, significa che si troveranno nello stesso punto spaziale, quindi $x_1(t)=x_2(t)$. Sostituiamo e risolviamo l'equazione:
$\frac12 3 t^2 = 20t$
$\frac12 3 t^2-20t=0$
$t(\frac32 t-20)=0$
che ci dà due soluzioni: $t=0$ cioè il tempo iniziale; infatti all'inizio si trovavano nello stesso posto, cioè al semaforo
e $\frac32 t = 20 \rightarrow t = \frac{40}{3} = 13.3 \ s$ che è l'altro istante temporale in cui le due auto si incontrano.
Esercizio 2:
un elicottero di massa m=7000 Kg si muove verso l'alto con accelerazione a=0,8 m/s^2, mentre solleva una cassa di massa 1000 Kg. si calcoli la tensione del cavo (privo di massa) che connette la cassa con l'elicottero.
Soluzione:
Usiamo la prima legge di Newton: $F_{totale} = m_{totale}\cdot a$
Nel nostro caso $m_{totale}$ è tutta la massa che viene spostata, quindi elicottero+cassa cioè $8000 \ kg$
$a$ è l'accelerazione con cui si muove il sistema eliccotero+cassa, quindi $0.8 \ m/s^2$
$F_{totale}$ è invece la somma (algebrica, quindi con segno) delle forze che agiscono sul sitema.
Le forze che agiscono sul sistema sono
Forza peso dell'elicottero (rivolta verso il basso, come tutte le forze peso): $P_{e} = 7000\cdot 9.8 = 68600 \ N$
Forza peso della cassa (rivolta verso il basso): $P_c=1000\cdot 9.8 = 98000 \ N$
La tensione del cavo (rivolta verso l'alto, perché in contrapposizione al peso della cassa): $T$, da trovare
In totale abbiamo
$-P_e-P_e+T = m_{totale}\cdot a$
$T = m_{totale}\cdot a +P_e+P_c$
$T = 8000\cdot 0.8+686000+98000 = 84800 \ N$
Esercizio 3:
un ciclista A si muove alla velocità di 15 Km/h mentre un ciclista B sopraggiunge ad una velocità di 30 Km/h; la distanza l'uno dall'altro è di 500 m. Quanti metri impiegherà il ciclista B a raggiungere il ciclista A?
Soluzione:
$v_A = 15 \ km/h = 4.2 \ m/s$
$v_B = 30 \ lm/h = 8.4 \ m/s$
Come nell'esercizio 1, uguagliamo le leggi orarie dei due ciclisti perché vogliamo che si incontrino in uno stesso punto.
Supponiamo che il punto di riferimento per il calcolo della distanza sia il ciclista B, quindi il ciclista A si trova avanti di $500 \ m$.
Le due leggi orarie sono:
$x_A(t)=500+v_At \rightarrow x_A(t)=500+4.2t$
$x_B(t)=v_Bt\rightarrow x_B(t)=8.4t$
Uguagliamole e svolgiamo i calcoli:
$500+4.2t =8.4t$
$-8.4t+4.2t = -500$
$4.2t = 500$
$t=\frac{500}{4.2} =119 \ s $
Esercizio 4:
un uomo di massa m=80 Kg si butta da un ponte, con velocità iniziale nulla, attaccato a una corda elastica avente lunghezza a riposo L=40 m. sapendo che la costante elastica della corda è K= 150 N/m, determinare la massima distanza dal ponte raggiunta dall'uomo
Soluzione:
Il sistema, alla fine della caduta, è in equilibrio quindi possiamo usare la prima legge di Newton in questa forma: $F_{totale} = 0$.
La forza totale, come nell'esercizio 2, è data dalla somma (algebrica) delle forze esercitate sul sistema. Le forze sono, in questo caso, la forza peso dell'uomo e la forza elastica della corda.
Forza peso dell'uomo (verso il basso): $P=m\cdot g = 80\cdot 9.8 = 784 \ N$
Forza elastica (verso l'alto, in contrapposizione alla forza peso): $F_e = K\cdot \Delta x$
dove $\Delta x$ è l'allungamento totale della molla alla fine della caduta.
Allora: $F_e-P=0 \rightarrow F_e = P$
$K\cdot \Delta x=m\cdot g$
$\Delta x \cdot150 = 784$
$\Delta x = \frac{784}{150} = 5.2$
La molla, dunque, si allunga di $5.2 \ m$. Dato che inizialmente (a riposo) era lunga $40 \ m$, alla fine della caduta sarà lunga $40+5.2 = 45.2 \ m$
