Esercizio coniche

Semplicissimo calcolo di routine. Devi solo trovare le coordinate del raggio. Qui trovo anche quelle del centro, ma solo innocue. Passaggio in più...

Premessa:

L'equazione di una circonferenza si può esprimere in due modi:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

(x - α)^2 + (y - β)^2 = r^2

Con il primo abbiamo, sempre che siano rispettate certe condizioni,  una circonferenza in forma implicita definita compiutamente dai coefficienti a, b, c.

Con il secondo abbiamo la cosiddetta rappresentazione cartesiana in cui il centro è dato da C(α , β) e con  r viene indicato il raggio. 

Il primo ed il secondo sono equivalenti basta scrivere:

x^2 + y^2 - 2·α·x - 2·β·y + (α^2 + β^2 - r^2) = 0

per cui si deve avere:

a = - 2·α------> α = - a/2

b = - 2·β------> β = - b/2

c = α^2 + β^2 - r^2-----> r = √(α^2 + β^2 - c)

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Possiamo ora rispondere alla domanda:

Quale regione rappresenta la disequazione ABS(x^2 + y^2 + a·x - b·y) ≤ c nell'ipotesi che sia c>0 e a^2+b^2-4c>0? Determina l'area di tale regione.

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La disequazione in modulo equivale a scrivere:

-c ≤ x^2 + y^2 + a·x - b·y ≤ c

Quindi ad un sistema:

{x^2 + y^2 + a·x - b·y - c ≤ 0

{x^2 + y^2 + a·x - b·y + c ≥ 0

La prima equazione il luogo dei punti del piano cartesiano interni ad una circonferenza(compresi i punti che le appartengono) di centro

C(-a/2, b/2) e raggio R=√(α^2 + β^2 + c)

La seconda il luogo dei punti del piano esterni ad una circonferenza (compresi i punti che le appartengono)

concentrica alla precedente, quindi con C(-a/2,b/2) e raggio r<R dato da r=√(α^2 + β^2 - c).

Quindi si tratta di calcolare, per l'area incognita del problema, l'area di una corona circolare:

Α = pi·(R^2 - r^2)