Consideriamo una trave appoggiata ai due estremi, di lunghezza $L$ (in metri), sottoposta a un carico uniformemente distribuito pari a $q$ (in newton/metro). Riferita la trave a un sistema di assi cartesiani ortogonali come in figura (la trave è appoggiata in $O$ e in $A$ e l'unità di misura è il metro), ci proponiamo di individuare l'equazione $y=f(x)$ della deformata dell'asse della trave.
In scienza delle costruzioni si dimostra che la funzione $y=f(x)$ è una soluzione dell'equazione differenziale:
$$
E I y^{\prime \prime}=-\frac{1}{2} q\left(x^2-L x\right)
$$
dove $E$ e $I$ sono costanti ( $E$ è il modulo elastico del materiale da cui è composta la trave e $I$ è il momento d'inerzia della sezione trasversale della trave).
a. Determina l'equazione della deformata, tenendo conto che passa per l'origine e che il punto di massima inflessione corrisponde al punto medio della trave.
b. Calcola quanto vale (in valore assoluto) la massima inflessione. $\left[\right.$ a. $y=-\frac{q}{2 E I}\left(\frac{x^4}{12}-\frac{L x^3}{6}+\frac{L^3 x}{12}\right)$; b. $\left.h=\frac{5 q L^4}{384 E I}\right]$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
