[Risolto] Problema di Cauchy

Problema:

Considera il seguente problema di Cauchy: $\{xy'+2y=x^4, \ \ y(1)=\frac{1}{3} \}$, che cosa puoi dire in merito alla soluzione?

A. È la curva di equazione $y=x^4+\frac{1}{x^2}$

B. È una curva la cui tangente nel punto $x=1$ è inclinata di 45°

C. È una curva che presenta un flesso nel punto $x=1$

D. È la retta di equazione $y=\frac{1}{3}$

Soluzione:

Forse c'è qualche problema di conto...

Per rispondere alle domande è opportuno risolvere prima il problema di Cauchy.

Si suppone $x \neq 0$ e si ottiene

$y'=y\frac{-2}{x}+x³$

Utilizzando la formula del fattore di integrazione si ottiene:

$y=\frac{c_1}{x²}+\frac{x⁴}{6}$

Grazie alla condizione iniziale $y(1)=\frac{1}{3}$ è possibile ottenere la curva cercata: $y=\frac{1}{6x²}+\frac{x⁴}{6}$

A. Falso, la curva non coincide con $y=x^4+\frac{1}{x^2}$.

Si individua la derivata prima della soluzione: $y'=\frac{2x⁶-1}{3x³}$

B. Falso, la tangente alla curva in un punto inclinata di 45° necessita che la derivata della curva in tal punto sia pari a $\tan (45°)=1$, ma $y'(1)=\frac{1}{3}$.

Si individua la derivata seconda della soluzione:

$\ddot{y}=\frac{2x⁶+1}{x⁴}$

C. Falso, il punto di flesso si trova nel punto in cui $\ddot{y}=\frac{2x⁶+1}{x⁴}=0 \implies x \notin \mathbb{R}$.

D. Falso, la curva non coincide con $y=\frac{1}{3}$.