Consideriamo una trave a mensola, di lunghezza $L$ (in metri), sottoposta a un carico uniformemente distribuito pari a $q$ (in newton/metro). Riferita la trave a un sistema di assi cartesiani ortogonali come in figura (la trave è fissata in $O$ e l'unità di misura è il metro), ci proponiamo di individuare l'equazione $y=f(x)$ della deformata dell'asse della trave.
In scienza delle costruzioni si dimostra che la funzione $y=f(x)$ è una soluzione dell'equazione differenziale:
$$
E I y^{\prime \prime}=-\frac{1}{2} q(L-x)^2
$$
dove $E$ e $I$ sono costanti ( $E$ è il modulo elastico del materiale da cui è composta la trave $e$ I è il momento d'inerzia della sezione trasversale della trave).
a. Determina l'equazione della deformata, tenendo conto che passa per l'origine $e$ ha in questo punto tangente orizzontale.
b. Verifica che la massima inflessione si ha nell'estremo libero e calcolane il valore assoluto.
$$
\text { a. } y=-\frac{q}{2 E I}\left(\frac{x^4}{12}-\frac{L x^3}{3}+\frac{L^2 x^2}{2}\right) ; \text { b. } h=\frac{q L^4}{8 E I}
$$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
