Considera un circuito elettrico composto da un condensatore di capacità $C$ (espressa in farad), da una bobina di induttanza $L$ (espressa in henry) e da un interruttore. Il tempo $t$ è espresso in secondi. All'istante $t=0$ supponiamo il condensatore carico; si chiude l'interruttore e il condensatore si scarica nel circuito.
Indichiamo con $q(t)$ il valore della carica (espressa in coulomb) del condensatore all'istante $t$.
a. Giustifica, in base alle leggi della fisica, perché la funzione $q(t)$ soddisfa l'equazione differenziale:
$$
q^{\prime \prime}(t)+\frac{1}{L C} q(t)=0
$$
b. Supposto $C=1,25 \cdot 10^{-3} F$ ed $L=0,5 \cdot 10^{-2} H$, determina l'integrale generale dell'equazione differenziale.
c. Determina la soluzione particolare corrispondente alle condizioni $q(0)=6 \cdot 10^{-3}$ e $q^{\prime}(0)=0$.
d. Determina la funzione $i(t)$ che esprime l'intensità di corrente $i$ (misurata in ampere) che percorre il circuito all'istante $t$.
e. Determina il valore efficace $E$ della corrente alternata che percorre il circuito, in base alla formula:
$$
E=\sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2(t) d t}
$$
dove $T$ indica il periodo della corrente alternata.
$\left[\right.$ b. $q(t)=c_1 \cos (400 t)+c_2 \sin (400 t)$; c. $q(t)=\frac{3}{500} \cos (400 t)$; d. $i(t)=-2,4 \sin (400 t)$; e. $\left.1,2 \sqrt{2}\right]$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
