Applichiamo la legge della maglia di Kirkhhoff al circuito, in cui è presente un condensatore carico e un induttore. Il condensatore, inizialmente carico, si comporta come una batteria di fem $V_C$ mentre l'induttore ha una differenza di potenziale pari a $V_L$ che scarica il condensatore:
$V_C - V_L = 0$
Dalle formule associate a condensatori e induttori riscrivo come:
$ \frac{q(t)}{C} - \left(-L \frac{di(t)}{dt}\right) = 0$
ed essendo $i = \frac{dq(t)}{dt}$ abbiamo:
$ \frac{q(t)}{C} + L \frac{d^2q(t)}{dt^2} = 0$
dividendo tutto per $L$:
$ \frac{q(t)}{LC} + \frac{d^2q(t)}{dt^2} = 0$
o se preferisci:
$q^{(2)}(t)+\frac{1}{LC}q(t)=0$
Si tratta di un'equazione differenziale di secondo ordine. Troviamo le soluzioni dell'equazione associata:
$\lambda^2+\frac{1}{LC}=0$
$\lambda^2 = \pm\sqrt{-\frac{1}{LC}} = \pm\sqrt{\frac{1}{LC}} i$
L'equazione ha soluzioni complesse e coniugate, per cui sappiamo che la soluzione sarà:
$ q(t) = c_1 \cos(\sqrt{\frac{1}{LC}}t) + c_2 \sin(\sqrt{\frac{1}{LC}}t)$
e sostituendo i valori di $L$ e $C$:
$ q(t) = c_1 \cos(200t) + c_2 \sin(200t)$
Sostituiamo ora i valori di $q(0)=\frac{\sqrt{2}}{400}$:
$ \frac{\sqrt{2}}{400} = c_1\cos(0)+c_2\sin(0) = c_1$
deriviamo l'espressione di $q(t)$:
$q'(t) = -200c_1\sin(200t) + 200c_2\cos(200t)$
e sostituiamo $q'(0)=\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\frac{\sqrt{2}}{2} = -200c_1\sin(0)+200c_2\cos(0) = 200c_2$
da cui
$c_1 = \frac{\sqrt{2}}{400}$
e
$c_2 = \frac{\sqrt{2}}{400}$
dunque:
$ q(t) = \frac{\sqrt{2}}{400} \cos(200t) + \frac{\sqrt{2}}{400} \sin(200t)$
mettendo in evidenza:
$ q(t) = \frac{\sqrt{2}}{400} \left(\cos(200t) + \sin(200t)\right)$
Usiamo ora la formula dell'angolo aggiunto con $a$ e $b$ coefficienti di seno e coseno rispettivamente:
$r=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2}$
$\varphi = \arctan \frac{b}{a} = \frac{\pi}{4}$
da cui:
$q(t) = \frac{\sqrt{2}}{400} \cdot r\sin(200t + \varphi)$
$q(t) = \frac{\sqrt{2}}{400} \cdot \sqrt{2}\sin(200t + \frac{\pi}{4})$
$q(t) = \frac{1}{200} \cdot \sin(200t + \frac{\pi}{4})$
La quantità di carica assume valore massimo quando il seno vale 1. Ciò accade se:
$200t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
$ t = \frac{\pi}{800}$
Per trovare il valor medio, calcoliamo l'integrale:
$\int_0^{\frac{\pi}{800}} q(t)dt =$
$\int_0^{\frac{\pi}{800}} \frac{1}{200} \cdot \sin(200t + \frac{\pi}{4}) dt =$
$\frac{1}{200} \int_0^{\frac{\pi}{800}} \sin(200t + \frac{\pi}{4}) dt =$
Moltiplico e divido per $200$:
$\frac{1}{40000} \int_0^{\frac{\pi}{800}} 200 \cdot \sin(200t + \frac{\pi}{4}) dt =$
e integro:
$\frac{1}{40000} \left[-\cos(200t + \frac{\pi}{4})\right]_0^{\frac{\pi}{800}}$
da cui
$\frac{1}{40000} \left[-\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4})+\cos(\frac{\pi}{4})\right]= \frac{1}{40000}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{80000}$
Il valor medio lo otteniamo come:
$q(z) = \frac{\int_0^{\frac{\pi}{800}} q(t)dt}{\frac{\pi}{800}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{80000}}{\frac{\pi}{800}} = \frac{\sqrt{2}}{100\pi}$
Noemi
