Il circuito rappresentato in figura è costituito da un condensatore di capacità $C$ (espressa in farad), da un resistore di resistenza $R$ (espressa in ohm) e da un interruttore. All'istante $t=0$ si chiude l'interruttore e il condensatore, inizialmente carico, si scarica nel circuito. Sia $V(t)$ il valore (espresso in volt) della tensione ai capi del condensatore all'istante $t$ (espresso in secondi).
a. Giustifica, in base alle leggi della fisica, perché la funzione $V(t)$ deve soddisfare l'equazione differenziale:
$$
V^{\prime}(t)+\frac{1}{R C} V(t)=0
$$
b. Supposto che sia $C=10^{-4} \mathrm{~F}, R=10^4 \Omega$ e che nell'istante $t=0$ la tensione ai capi del condensatore sia di 12 V , determina l'espressione analitica di $V(t)$.
c. Determina dopo quanto tempo, a partire dalla chiusura del circuito, la tensione $V(t)$ è minore di $0,6 \mathrm{~V}$.
d. L'energia $E(t)$ (espressa in joule) immagazzinata nel condensatore all'istante $t$ è data da:
$$
E(t)=\frac{1}{2} C \cdot V^2(t)
$$
Determina il valore medio di $E(t)$ nei primi 2 secondi.
[b. $V(t)=12 e^{-t}$; c. $t>\ln 20 \mathrm{~s}$, ossia dopo circa 3 s ; d. $18\left(1-e^{-4}\right) 10^{-4} \mathrm{~J}$ ]
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
