Un carrello di massa $m=200 kg$ è posto su un binario orizzontale rettilineo. È sottoposto a una forza costante $\vec{F}$ di intensità 50 N . La forza di attrito è diretta in verso contrario a $\vec{F}$ ed è proporzionale alla velocità del carrello, essendo la costante di proporzionalità uguale (in valore assoluto) a $25 N \cdot m ^{-1} \cdot s$. La posizione del carrello all'istante $t$ (espresso in secondi) è individuata dalla distanza $x(t)$ (espressa in metri) del punto $H$ dall'origine $O$ sull'asse delle ascisse rappresentato in figura.
a. Giustifica, in base alle leggi della fisica, perché la funzione $x(t)$ soddisfa l'equazione differenziale:
$$
25 x^{\prime}(t)+200 x^{\prime \prime}(t)=50
$$
b. Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale.
c. Supponi che all'istante $t=0$ il carrello si trovasse in $O$ con velocità nulla e determina la soluzione dell'equazione differenziale che soddisfa queste condizioni.
d. Qual è la distanza percorsa dal carrello dopo 40 secondi?
e. Determina l'espressione analitica della funzione $v(t)$ che esprime la velocità del carrello.
f. Determina il limite $V$ della velocità $v(t)$ per $t \rightarrow+\infty$. Per quali valori di $t$ la velocità del carrello è inferiore o uguale al $90 \%$ del suo valore limite $V$ ? $\left[\right.$ b. $c_1+c_2 e^{\frac{-t}{8}}+2 t$; c. $x(t)=2 t-16+16 e^{-\frac{1}{8}}$; d. circa $64,1 m$; e. $v(t)=x^{\prime}(t)=2-2 e^{-\frac{1}{8} t}$; f. $V=2 m / s$, la condizione è verificata per $t \leq 8 \ln 10$, cioè per tempi inferiori o uguali a circa $18,4 s$ ]
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
