Problemi, calcolo differenziale

$ h(x): ℝ⁺ \to ℝ $
$ x \mapsto 3x(-1+lnx) $

a. $ h'(x) = 3\, ln(x) $ questo significa che:

1. h'(x) < 0 in  (0, 1) in tale intervallo la funzione è strettamente decrescente
2. h'(x) = 0 per x = 1
3. h'(x) > 0 in (1, +∞) in tale intervallo la funzione è strettamente crescente

nota. La funzione h(x) è strettamente crescente in [1, +∞). Questa affermazione non contraddice la precedente.

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$

b. 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} h(x) = -3x + 3xln(x) = 0 +0 = 0$

nota: il limite x\,lnx per x→0⁺ è l'ultimo limite notevole e il suo risultato è 0.

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} h'(x) =  \displaystyle\lim_{x \to 0^+} 3\, ln(x) = -\infty$

Grafico. https://www.desmos.com/calculator/fdqxcaatsf

c.   

$ h^*(x): [1,+\infty) \to ℝ $
$ x \mapsto 3x(-1+lnx) $

h*(x) è monotona strettamente crescente quindi iniettiva ovvero invertibile sulla base dell'immagine [-3, +∞)

Che l'immagine sia [-3, +∞) lo si dimostra facendo ricorso al teorema dei valori intermedi.

d. Il dominio della funzione inversa coincide con l'immagine della funzione mentre l'immagine della funzione inversa coincide con il dominio della funzione .

$ h^*(x): [1,+\infty) \to [-3, +\infty) $
$ h^*⁻¹(x): [-3,+\infty) \to [1, +\infty) $

Le due funzioni h*(x), h*⁻¹(x) sono simmetriche rispetto alla bisettrice y = x. Questo significa che il punto di intersezione tra la bisettrice e h*⁻¹(x) coincide con  il punto di intersezione tra la bisettrice e h*(x). Risolviamo quest'ultimo sistema

$ \begin{cases} y = x \\ y = 3x(-1+lnx) \end{cases} $

$x = -3x+3x\,lnx \; \implies \; 4=3lnx \; \implies \; ln(x) = \frac{4}{3} \; \implies \; x = e^{\frac{4}{3}}$

$ y = x \; \implies \;  y = e^{\frac{4}{3}}$

per cui

$S = (e^{\frac{4}{3}}, e^{\frac{4}{3}})$