Problema trigonometria con equazione

Ti rispondo sino all'equazione risolutiva del problema. Poi vediamo di continuare domani.

Facciamo riferimento alla figura su allegata.

Verifiche angolari sugli angoli dei due triangoli: ABD e BCD

pi/4 + x + pi/4 + pi/2 - x = pi  OK!!

pi/4 + pi/2 - x + pi/4 + x = pi  OK!!

ΑΒ = ΒC = √2·r

Adoperiamo il Th dei seni per determinare AD

√2·r/SIN(pi/4) = AD/SIN(pi/2 - x)

AD = √2·r/SIN(pi/4)·SIN(pi/2 - x)

AD = 2·r·COS(x)

CD con Pitagora:

CD = √((2·r)^2 - (2·r·COS(x))^2)

CD = 2·r·SIN(x)

L'angolo in corrispondenza del vertice C vale:

γ = pi/2 - x + pi/4---> γ = 3·pi/4 - x

Ancora Th dei seni:

CD/SIN(x) = BD/SIN(γ)

BD = 2·r·SIN(x)/SIN(x)·SIN(3·pi/4 - x)

BD = 2·r·SIN(x + pi/4)

Quindi equazione risolutiva:

2·r·COS(x) + 2·(r·SIN(x)) + 2·√2·r·SIN(x + pi/4) = 2·r·√6

√2·SIN(x + pi/4) + COS(x) + SIN(x) = √6

√2·(SIN(x)·COS(pi/4) + SIN(pi/4)·COS(x)) + COS(x) + SIN(x) = √6

√2·(SIN(x)·(√2/2) + √2/2·COS(x)) + COS(x) + SIN(x) = √6

2·COS(x) + 2·SIN(x) = √6

Continuo con la risoluzione

COS(x) + SIN(x) = √6/2

Α·SIN(x + φ) = Α·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

{Α·SIN(φ) = 1

{Α·COS(φ) = 1

quindi: TAN(φ) = 1----> φ = pi/4

{Α·SIN(pi/4) = 1

{Α·COS(pi/4) = 1

si ottiene in ogni caso: Α = √2

Pongo momentaneamente: x + pi/4 = α

√2·SIN(α) = √6/2---> α = 2·pi/3 ∨ α = pi/3

x + pi/4 = 2·pi/3 ∨ x + pi/4 = pi/3

x = 5·pi/12 ∨ x = pi/12