Considerata una semicirconferenza $\gamma$ di diametro $A B$, centro $O$ e raggio $r$, sia $t$ la tangente ad essa in $A$ e sia $C$ il punto di $t$ tale che $\operatorname{tg} C \widehat{O} A=\frac{1}{2}$. Condotta per $C$ l'altra tangente a $\gamma$ e detto $D$ il punto in cui essa interseca la perpendicolare in $O$ ad $A B$, calcolare il perimetro del quadrilatero $A B D C$.
Buongiorno,
ho un problema a capire come vanno disegnate le tangenti in questo problema.
Grazie mille
41
punti
Livello 0
Ciao.
Fai riferimento al disegno seguente:
Poni r=1. Il perimetro che poi dovrai avere ha come coefficiente moltiplicativo r.
Quindi la semicirconferenza la puoi prendere con equazione:
y = √(1 - x^2)
quindi appartenente a : x^2 + y^2 = 1
Il punto C è facilmente determinabile su t: C(-1,1/2)
Da tale punto conduci determini le tangenti alla circonferenza.
{x^2 + y^2 = 1
{y-1/2=m(x+1)
quindi:
y = (2·m·x + 2·m + 1)/2 procedi per sostituzione:
x^2 + ((2·m·x + 2·m + 1)/2)^2 = 1
arrivi a scrivere una equazione di secondo grado parametrica in m:
x^2·(m^2 + 1) + m·x·(2·m + 1) + (4·m^2 + 4·m + 1)/4 - 1 = 0
4·x^2·(m^2 + 1) + 4·m·x·(2·m + 1) + (4·m^2 + 4·m - 3) = 0
Δ/4 = 0 condizione di tangenza
(2·m·(2·m + 1))^2 - 4·(m^2 + 1)·(4·m^2 + 4·m - 3) = 0
pervieni quindi a: 12 - 16·m = 0-----> m = 3/4
quindi la retta CD:
y - 1/2 = 3/4·(x + 1)-----> y = (3·x + 5)/4
quindi D(0,5/4)
Quindi determini CD=√((0 + 1)^2 + (5/4 - 1/2)^2) = 5/4
poi DB=√((0 - 1)^2 + (5/4 - 0)^2) = √41/4
perimetro=2 + 1/2 + 5/4 + √41/4 = √41/4 + 15/4=5.350781059
5.35 è il perimetro
78428
punti
Genius II
