[Risolto] equazione goniometrica

Procedendo in modo regolare con le formule di addizione

cos x sin (2/3 pi + x) - cos^2 (x) = sin x cos (x - pi/6)

cos x * [ sin (2/3 pi) cos x + cos (2/3 pi ) sin x ] - rad(3) cos^2(x) = 

= sin x * [ cos x cos (pi/6) + sin x sin (pi/6) ]

sviluppando

rad(3)/2 cos^2(x) - 1/2 sin x cos x - rad(3) cos^2(x) = rad(3)/2 sin x cos x + 1/2 sin^2(x)

Trasportando a destra e riducendo

1/2 sin^2(x) + (rad(3) + 1)/2 sin x cos x + rad(3)/2 cos^2(x) = 0

sin^2(x) + sin x cos x + rad(3) sin x cos x + rad(3) cos^2(x) = 0

scomponendo per raccoglimento parziale

sin x ( sin x + cos x ) + rad(3) cos x ( sin x + cos x ) = 0

(sin x + cos x) ( sin x + rad(3) cos x ) = 0

e per la legge di annullamento del prodotto

sin x + cos x = 0    V   sin x + rad(3) cos x = 0

In entrambe queste equazioni non può essere cos x = 0

altrimenti il seno vale 1 o -1 e quindi non può essere 0.

Dividendo per cos x risulta allora

tg x + 1 = 0   V   tg x + rad(3) = 0

da cui le soluzioni, per k in Z,

tg x = -1 => x = - pi/4 + k pi

tg x = -rad(3) => x = - pi/3 + k pi