[Risolto] Problema sul moto parabolico

@ilaria_

Ciao.

Faccio riferimento alle equazioni parametriche della traiettoria in un istante generico:

{x = μ·t

{y = h - 1/2·g·t^2

avendo indicato con: μ in m/s la velocità orizzontale;

h= 4.5 m la quota iniziale di volo;

g=9.81 m/s^2 l'accelerazione di gravità

per t=0 ho quindi la prima posizione definita dal punto A(0,4.5)

Esiste quindi un certo istante t per cui si raggiunge la posizione data dal punto B(0.5,3)

In tale posizione si avrà quindi:

{0.5 = μ·t

{3 = 4.5 - 1/2·9.81·t^2

sistema che permette il calcolo delle due incognite.

Dalla seconda abbiamo l'istante t: t = -0.5530012636 ∨ t = 0.5530012636 s

che ci permette di determinare la velocità:  0.5 = μ·0.5530012636

μ = 0.9041570660 m/s

Quindi l'equazione della traiettoria:

t = x/μ-----> y = 4.5 - 1/2·9.81·(x/0.904157066)^2------> y = 4.5 - 6·x^2

 

Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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NEL CASO IN ESAME
Con
* θ = 0
* h = 4,5 = 9/2 m
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2 (standard SI)
si ha
* x(t) = V*t
* y(t) = 9/2 - (g/2)*t^2
dal sistema
* (x = V*t) & (y = 9/2 - (g/2)*t^2) ≡
≡ (t = x/V) & (y = 9/2 - (g/2)*(x/V)^2)
si ha la traiettoria
* y = (9*V^2 - g*x^2)/(2*V^2)
che, per ipotesi, DEVE passare per "r1= (0,50 ; 3,0)" ≡ (1/2, 3), quindi
* (3 = (9*V^2 - g*(1/2)^2)/(2*V^2)) & (V > 0) ≡
≡ V = √(g/12)
da cui, per il quesito B,
* y = (9*(√(g/12))^2 - g*x^2)/(2*(√(g/12))^2) ≡
≡ y = 9/2 - 6*x^2
e, per il quesito A, il richiesto istante T si trova da
* ((√(g/12))*T = 1/2) & (9/2 - (g/2)*T^2 = 3) & (g > 0) & (T > 0) ≡
≡ T = √(3/g) = √(3/9.80665) ~= 0.553 s

(4,5-3) = 1,5 = g/2*t^2

t = √3 /9,806 = 0,553 sec 

Vo = Vx = x/t = 0,5/0,553 = 0,904 m/sec 

equazione del moto :

Y = Voy*t-g/2*t^2 = -4,903t^2

X = Vox*t = 0,904t