problema sul moto parabolico del proiettile

Ciao di nuovo.

Componenti della velocità:

{μ = 12·COS(20°) orizzontale

{ν = 12·SIN(20°)  verticale

quindi: μ = 11.27631144 m/s  ; ν = 4.104241719 m/s

Equazioni parametriche della traiettoria:

{x = μ·t (moto uniforme)

{y = 10 - ν·t - 1/2·g·t^2   (moto uniformemente accelerato)

Elimino il parametro t per determinare l'equazione della traiettoria: t = x/μ

y = 10 - ν·(x/μ) - 1/2·g·(x/μ)^2

Sostituendo i valori di:

g = 9.806 m/s^2 (accelerazione di gravita) e delle componenti suddette della velocità iniziale

e posto y=0 quota del terreno

0 = 10 - 4.104241719·(x/11.27631144) - 1/2·9.806·(x/11.27631144)^2

0.03855917816·x^2 + 0.3639702344·x - 10 = 0

risolvo ed ottengo:

x = -21.501 m ∨ x = 12.062 m

scarto la negativa.

Il problema si risolve considerando la legge oraria

{ x(t) = vo t cos a

{ y(t) = vo t sin a + h - 1/2 g t^2

nell'istante di impatto al suolo, T, risulta

D = vo T cos a

con    vo T sin a + h - 1/2 g T^2 = 0

ovvero

- g/2 T^2 + vo T sin a + h = 0      essendo a = - pi/9 radianti

- 4.9 T^2 + 12 T sin (-pi/9) + 10 = 0

4.9 T^2 + 12 sin (pi/9) T - 10 = 0

applicando la formula risolutiva e scartando la radice negativa

T = 1.0699 s

e quindi D = 12 * 1.0699 * cos (pi/9) = ... = 12.07 m, circa 12 m.

es. 22

hfin-hin = -Vo sin 20°*t-g/2*t^2

0-10 = -12*0,342*t-4,906t^2 

-4,906t^2-4,104t+10 = 0 

t = (4,104-√4,104^2+19,612*10)/-9,806  = 1,070 sec 

distanza orizzontale d = 12*cos 20°*t = 12*0,940*1,070 = 12,1 m

4,9033*0,65^2 = Vy*0,65

Vy = 4,9033*0,65 = 3,19 m/s

22)

Velocità iniziale lungo l'asse $y~v_{0y}= v_{0}sen(α) = 12×sen(20°) = 4,1042~m/s$;

Velocità iniziale lungo l'asse $x~v_{0x}= v_{0}cos(α) = 12×cos(20°) = 11,2763~m/s$;

conoscendo l'altezza $(10~m)$ calcoliamo il tempo impostando la seguente equazione:

$v_{0y}t+\frac{gt^2}{2}=h$

$4,1024t+\frac{9,8066t^2}{2}=10$

$8,2084t+9,8066t^2=20$ (dividi tutto per 9,8066):

$0,837t+t^2= 2,0394$ (equazione di secondo grado completa quindi riordina ed eguaglia a zero):

$t^2+0,837t-2,0394 = 0$

applica la formula risolutiva con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= 0,837$;

$c= -2,0394$;

$∆= b^2-4ac = 0,837^2-(4×1×-2,0394) =$

$= 0,7006-(-8,1576) = 0,7006+8,1576 = 8,8582$;

$x_{1,2}= \frac{-b±\sqrt{∆}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{-0,837±\sqrt{8,8582}}{2×1}$

$ x_{1,2}=\frac{-0,837±2,976}{2}$

risultati di $x$:

$x_1= \frac{-0,837-2,976}{2} = -1,9065$ (che scartiamo in quanto negativo);

$x_2= \frac{-0,837+2,976}{2} = 1,0695$ (che è il tempo per giungere al suolo: t= 1,0695 s);

infine:

spostamento orizzontale $(asse~ x)~S_x= V_{0x}×t = 11,2763×1,0695 = 12,06~m$ (che puoi approssimare a 12 m).

Cito me stesso dal link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/31081/
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La velocità iniziale V di modulo 12 m/s con alzo negativo θ = - 20° = - π/9 si rappresenta per componenti con
* V(Vx, Vy) = (V*cos(θ), V*sin(θ)) = (12*cos(- π/9), 12*sin(- π/9)) ~=
~= (11.28, - 4.10)
le quali componenti consentono di scrivere le equazioni di un punto materiale lanciato all'istante zero con velocità V dalla quota h = 10 m sulla verticale dell'origine
* x(t) = (Vx)*t = 12*cos(- π/9)*t ~=
~= 11.28*t
* y(t) = h + t*(Vy - (g/2)*t) =
= 10 + t*(- 12*sin(- π/9) - (9.80665/2)*t) ~=
~= 10 + t*(- 4.10 - 4.903325*t) =
= 10 - t*(4.10 + 4.903325*t)
* vy(t) = Vy - g*t = - 12*sin(- π/9) - 9.80665*t ~=
~= - 4.10 - 9.80665*t
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Il mobile tocca il suolo (y = 0) all'istante T > 0
* (y(T) = 10 - T*(4.10 + 4.903325*T) = 0) & (T > 0) ≡
≡ T ~= 1.07 s
Quindi la richiesta gittata risulta
* x(T) = (Vx)*T ~= 11.28*1.07 = 12.0696 ~= 12 m

N°26

Stessa velocità angolare ω

N° 27

Velocità angolare ω = 2*3,1416/(3600*(10+39/60)) = 0,000164 rad/s