problema 240 geometria analitica

Se hai già risposto ad a) puoi dire che risulta y > 0;

per cui se y = 1/t^2  allora   t^2 = 1/y =>   t = +- 1/sqrt(y)

Sostituendo,

x = ( 1 +- 1/sqrt(y))/(1/y)

x = y (1 +- 1/sqrt(y) )

x = y +- sqrt(y)

x - y = +- sqrt(y)

|x - y| = sqrt(y)

|x - y|^2 = (sqrt(y))^2

(x - y)^2 = y

x^2 - 2xy + y^2 - y = 0     con y > 0.

Deve essere una parabola ruotata, perché il discriminante della parte quadratica é 0.

PROPRIETA' DEL LUOGO
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* γ ≡ (x = (1 + t)/t^2) & (y = 1/t^2) & (t != 0) ≡
≡ (x != 0) & (t = (1 - √(4*x + 1))/(2*x)) & (16*x^2 - 32*x*y + 16*y^2 - 16*y = 0)
oppure
≡ (x != 0) & (t = (1 + √(4*x + 1))/(2*x)) & (16*x^2 - 32*x*y + 16*y^2 - 16*y = 0)
cioè
* γ ≡ 16*x^2 - 32*x*y + 16*y^2 - 16*y = 0 ≡
≡ (4*x - 4*y)^2 - 16*y = 0 ≡
≡ (x - y)^2 - y = 0 ≡
≡ (x + 1/8)^2 + (y - 1/8)^2 = (x + y + 1/4)^2/2
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quindi il luogo γ
* è una parabola (i termini di grado due sono un quadrato di binomio)
* ha fuoco F(- 1/8, 1/8)
* ha direttrice y = - x - 1/4
* ha asse di simmetria y = x + 1/4
* ha vertice V(- 3/16, 1/16)
* ha pendenza m(x, y) = dy/dx = (x - y)/(x - y + 1/2)
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Ovviamente, con l'asse di simmetria parallelo alla bisettrice dei quadranti dispari, solo le rette con la medesima pendenza hanno tutte un solo punto comune reale con γ; quelle con diversa pendenza (comprese le parallele all'asse x) di punti comuni ne hanno due, anche se non sempre reali e distinti.
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La tangente è orizzontale sulla bisettrice dei quadranti dispari, y = x, che interseca γ solo nel punto T(0, 0) di ordinata minima (l'origine degli assi).
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QUESITI
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b) * γ ≡ 16*x^2 - 32*x*y + 16*y^2 - 16*y = 0 ≡
≡ (4*x - 4*y)^2 - 16*y = 0 ≡
≡ (x - y)^2 - y = 0 ≡
≡ (x + 1/8)^2 + (y - 1/8)^2 = (x + y + 1/4)^2/2
ad ogni forma si congiunge logicamente la specificazione "y >= 0".
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c) (y = h > 0) & (16*x^2 - 32*x*y + 16*y^2 - 16*y = 0)
da cui
* 16*x^2 - 32*x*h + 16*h^2 - 16*h = 0 ≡
≡ x = h ± √h
che, per h > 0, sono reali e distinte.
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a) Per come sono formulati il quesito e il risultato atteso, non ci trovo alcun senso; tuttavia (arbitrariamente interpretando l'intenzione dell'incolto autore) rspondo alla richiesta di studiare non del luogo la posizione, immutabile come visto sub b e c, ma del suo punto cursore
* P((1 + t)/t^2), 1/t^2)
con t != 0
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Da
* (y = 1/t^2) & (t != 0) ≡ y > 0
si trae una deduzione fallace, che trascura l'origine.
Da
* (x = (1 + t)/t^2) & (t != 0)
si ha la distinzione di casi
* per t < - 1, x < 0
* per t = - 1, x = 0
* per - 1 < t < 0, x > 0
* per t = 0, x è indefinito
* per t > 0, x > 0