[Risolto] Problema sul lavoro

CINQUE newton
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Il lavoro L è il prodotto scalare fra la forza f(xF, yF) applicata e lo spostamento S(xS, yS) del punto d'applicazione
* L = f.S = (xf, yf).(xS, yS) = |f|*|S|*cos(θ) = F*s*cos(θ)
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"La forza e lo spostamento hanno la stessa direzione" ≡ cos(θ) = 1 ≡ L = F*s
cioè
il lavoro L(h, k) compiuto nello spostamento da h a k è l'area del trapezio rettangolo che ha le basi sulle rette s = h (lunga F(h)) ed s = k (lunga F(k)), il lato retto sull'asse s (lungo |k - h|) e il lato obliquo sul grafico di F(s) = (2/3)*(9 - s)
* L(h, k) = |k - h|*(F(h) + F(k))/2
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Per semplificare la dattilografia chiamo le forze con una maiuscola che ne rappresenti l'argomento (F(0) = Z, F(x) = X, F(6) = S), cioè
* L(h, k) = |k - h|*(H + K)/2
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L'area di un quadretto Q del grafico rappresenta un lavoro di
* Q = (1 metro)*(1 newton) = 1 joule
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"Il lavoro ... tra 0 m e x è uguale alla metà del lavoro ... tra x e 6,0 m." ≡
≡ L(0, x) = L(x, 6)/2 ≡
≡ 2*(x - 0)*(F(0) + F(x))/2 = (6 - x)*(F(x) + F(6))/2 ≡
≡ x*(Z + X) = (6 - x)*(X + S)/2 ≡
≡ (S + 3*X + 2*Z)*x - 6*(S + X) = 0 ≡
≡ ((2/3)*(9 - 6) + 3*(2/3)*(9 - x) + 2*(2/3)*(9 - 0))*x - 6*((2/3)*(9 - 6) + (2/3)*(9 - x)) = 0 ≡
≡ x^2 - 18*x + 24 = 0
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"Determina il valore del modulo della forza Fx in corrispondenza della posizione x" ≡
≡ (x^2 - 18*x + 24 = 0) & (0 < x < 6) ≡ x = 9 - √57 ~= 1.45 m
* F(x) = (2/3)*(9 - (9 - √57)) = (2/3)*√57 ~= 5 N
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ALTERNATIVAMENTE
Se il titolo fosse stato «Problema sul trapezio rettangolo» e l'enunciato una specie del seguente allora la risoluzione avrebbe occupato molte righe di meno.
«Problema
Dato un trapezio ABCD rettangolo in A e in D con
* |AB| = a = 6, base maggiore
* |AD| = h = 6, altezza
* |BC| = b = 2, base minore
determinare la lunghezza p = |PQ| di una parallela alle basi a distanza x = |AP| dalla base maggiore tale che le aree S(trapezio) delle due parti della suddivisione siano
* S(ABQP) = S(PQCD)/2
»
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Risoluzione
Il rapporto
* r(x) = S(PQCD)/S(ABCD) =
= (b*(h - x) + (h - x)*((a - b)*(h - x)/h)/2)/(b*h + h*(a - b)/2) =
= (a*(h - x) + b*(h + x))*(h - x)/((a + b)*h^2)
che, con i valori del caso, diventa
* r(x) = (6 - x)*(12 - x)/72
da cui
* ((6 - x)*(12 - x)/72 = 2/3) & (0 < x < 6) ≡ x = 9 - √57 ~= 1.45
ed essendo
* S(ABCD) = 6*(2 + 6)/2 = 24
si ha
* S(PQCD) = (6 - (9 - √57))*(2 + p)/2 = 24*2/3 ≡ p = (2/3)*√57 ~= 5
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SOLO 12 RIGHE INVECE DI 25

L'espressione della forza é 6 + qx

con F(6) = 2 => 6 + 6q = 2

q = -4/6 = -2/3

F(x) = 6 - 2/3 x

Deve risultare

(6 + 6 - 2/3 x)/2 * x = 1/3 area fra 0 e 6 

x(6 - x/3) = 1/3 *(6 + 2)/2 * 6

6x - x^2/3 = 8

x^2 - 18x + 24 = 0

x = (9 +- rad(81 - 24)) = 9 - rad(57)

F* = 6 - 2/3 (9 - rad(57)) N = 6 - 6 + 2/3 rad(57) N = 2/3 rad(57) N