[Risolto] Problema sui sistemi di secondo grado

Tradurre in forma simbolica la descrizione data in forma narrativa.
"le dimensini del rettangolo dato" ≡ base "x", altezza "y".
"diminuinuisci di 2 cm la base" ≡ x - 2 cm
"aumenti di 1 cm la sua altezza" ≡ y + 1 cm
"ottieni un quadrato" ≡ x - 2 = y + 1 ≡ y = x - 3
"diminuisci di 3 cm la basr" ≡ x - 3 cm
"e di 2 cm l'altezza" ≡ y - 2 cm
"ottieni un rettangolo che ha area" ≡
≡ (x - 3 cm)*(y - 2 cm) = x*y - 2*x - 3*y + 6 cm^2
"pari ad 1/3 di quello dato" ≡
≡ x*y - 2*x - 3*y + 6 cm^2 = (1/3)*x*y cm^2 ≡
≡ x*y - 2*x - 3*y + 6 - (1/3)*x*y = 0 ≡
≡ 2*x*y - 6*x - 9*y + 18 = 0 ≡
≡ (y = 6*(x - 3)/(2*x - 9)) & (x != 9/2)
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Le due equazioni ottenute dalla traduzione
* y = x - 3 [retta congiungente (3, 0) con (0, - 3)]
* y = 6*(x - 3)/(2*x - 9) [iperbole di asintoti x = 9/2 e y = 3]
messe a sistema danno come soluzione le coordinate degli eventuali punti comuni fra le due curve.
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Sistema
* (y = x - 3) & (y = 6*(x - 3)/(2*x - 9)) ≡
≡ (y = x - 3) & (y = 6*(x - 3)/(2*x - 9) - y = 0) ≡
≡ (y = x - 3) & (6*(x - 3)/(2*x - 9) - (x - 3) = 0)
Risolvente
* 6*(x - 3)/(2*x - 9) - (x - 3) = 0 ≡
≡ (- 2*x^2 + 21*x - 45)/(2*x - 9) = 0 ≡
≡ (x - 3)*(x - 15/2) = 0 ≡
≡ (x = 3) oppure (x = 15/2)
Soluzione
* (3, 0) oppure (15/2, 9/2)
VERIFICA
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y%3Dx-3%29%26%28y%3D6*%28x-3%29%2F%282*x-9%29%29

Chiamando $b$ la base e $h$ l'altezza formalmente le due condizioni scritte si trasformano in:

$b-2=h+1$

$(b-3)(h-2)=bh/3$

dalla prima si ricava: $b=h+3$ e si sostituisce nella seconda:

$(h+3-3)(h-2)=(h+3)h/3$

rimane $h(h-2)=h(h+3)/3$

Semplifichi adesso $h$ e ti resta:

$h-2=h/3+1$  --> $h=9/2=4.5 cm$ e $b=15/2=7.5 cm$

Se diminuisci di 2 cm la base di un rettangolo ed aumenti di 1 cm la sua altezza, ottieni un quadrato. Se invece diminuisci di 3 cm la basr e di 2 cm l'altezza del rettangolo, ottieni un rettangolo che ha area pari ad 1/3 di quello dato. Calcola le dimensioni del rettangolo dato.

b-2 = h+1 ⇒ b = h+3

3((h+3-3)(h-2) = (h+3)*h

3(h^2-2h) = h^2+3h 

2h^2 = 9h

2h = 9

h = 4,5

b = 7,5 

check 

(4,5*2,5) = 4,5*7,5/3 

11,25 = 11,25 ....OK !!