[Risolto] Esercizio Mat

Mi scuso in anticipo per l'uso OCCULTO di una sostituzione banale.
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Con
* f(x) = n(x)/d(x) = (2*x + 3)/√(x^2 + 3*x)
per calcolare
* F(x) = ∫ f(x)*dx = ∫ ((2*x + 3)/√(x^2 + 3*x))*dx
sono utili le seguenti considerazioni (si tratta di riconoscere due forme note).
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A) Il fatto che
* d/dx (x^2 + 3*x) = (2*x + 3)
significhi
* d(x^2 + 3*x) = (2*x + 3)*dx
autorizza a riscrivere
* F(x) = ∫ ((2*x + 3)/√(x^2 + 3*x))*dx =
= ∫ d(x^2 + 3*x)/√(x^2 + 3*x) =
= ∫ ((x^2 + 3*x)^(- 1/2))*d(x^2 + 3*x)
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B) L'ultima forma ottenuta rientra fra gl'integrali elementari: le primitive della potenza k-ma di qualcosa sono, a meno di una costante additiva, la (k + 1)-ma parte della sua potenza(k + 1)-ma; cioè
* ∫ ((qualcosa)^k)*d(qualcosa) = (qualcosa)^(k + 1)/(k + 1) + c
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C) Applicando il riconoscimento B all'ultima forma del riconoscimento A si ottiene
* F(x) = ∫ ((x^2 + 3*x)^(- 1/2))*d(x^2 + 3*x) =
= (x^2 + 3*x)^(- 1/2 + 1)/(- 1/2 + 1) + c =
= 2*√(x^2 + 3*x) + c

ho già risolto questo integrale in un altro post usando la sostituzione $t=x^2+3x$.

Se sei piuttosto arzillo con gli integrali puoi forse riconoscere che questo integrale ricade nella categoria:

$\int{f^n(x)*f'(x) dx} = \frac{f^{n+1}(x)}{n+1}+C$ dove in questo caso $n=-1/2$