[Risolto] Problema sui prismi

Un prisma retto ha per base un rombo avente una diagonale 3/4 dell'altra mentre la loro somma misura 154 cm. Sapendo che l'altezza del prisma è 1/3 della diagonale minore, calcola il volume del solido e l'area totale.

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Rombo di base del prisma.

Somma e rapporto tra le diagonali, quindi un modo per calcolarle può essere il seguente:

diagonale minore $d= \frac{154}{3+4}×3 = \frac{154}{7}×3 = 22×3=66~cm$;

diagonale maggiore $D= \frac{154}{3+4}×4 = \frac{154}{7}×4 = 22×4=88~cm$;

lato $l= \sqrt{\big(\frac{D}{2}\big)^2+\big(\frac{d}{2}\big)^2}=\sqrt{\big(\frac{88}{2}\big)^2+\big(\frac{66}{2}\big)^2}= \sqrt{44^2+33^2}= 55~cm$ (teorema di Pitagora);

perimetro $2p= 4l = 4×55 = 220~cm$ (= perimetro di base del prisma);

area $A= \frac{D×d}{2}=\frac{88×66}{2}=\frac{5808}{2}= 2904~cm^2$ (= area di base del prisma).

Prisma.

Area di base $Ab= 2904~cm^2$;

perimetro di base $2p_b= 220~cm$;

altezza $h= \frac{1}{3}d=\frac{1}{3}×66 = 22~cm$;

area laterale $Al= 2p_b×h = 220×22 = 4840~cm^2$;

area totale $At= Al+2Ab = 4840+2×2904 = 10648~cm^2$;

volume $V= Ab×h = 2904×22 = 63888~cm^3$.

d + D = 154 cm;

d = D * 3/4;

D è l'intero vale 4/4;

d = 3/4;

|___|___|___| d = 3 segmenti;

|___|___|___|___| D = 4 segmenti;

Sommiamo i segmenti che valgono 1/4 l'uno.

4 + 3 = 7 segmenti; la somma vale 154 cm;

154 / 7 = 22 cm; (misura di un segmento);

D = 4 * 22 = 88 cm;

d = 3 * 22 = 66 cm;

h prisma = d * 1/3 = 66 * 1/3 = 22 cm;

Area rombo = 88 * 66 / 2 = 2904 cm^2 ; (area di base del prisma);

Volume = 2904 * 22 = 63888 cm^2; (Volume del prisma).

Dobbiamo trovare il perimetro del rombo, cioè il perimetro di base;

Lato del rombo, si trova con Pitagora:

Lato = radice quadrata[(D/2)^2 + (d/2)^2];

lato = radice(44^2 + 33^2) = radice(3025) = 55 cm;

Perimetro = 4 * 55 = 220 cm;

Area laterale = Perimetro * h = 220 * 22 = 4840 cm^2;

Area totale = (2 * Area di base) + Area laterale;

Area totale = (2 * 2904) + 4840 = 10648 cm^2.

Ciao @raf83

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