Problema su sfera e calotta sferica

@beppe

Ciao di nuovo.

A= area calotta sferica = Α = 2·pi·r·h

essendo h= altezza calotta ed r = raggio della sfera a cui appartiene tale calotta.

Se con x = distanza del piano di base della calotta dal centro della sfera:

h = r - x

La superficie della sfera interna che per diametro x  si calcola con
S = 4·pi·(x/2)^2-----> s = pi·x^2

Quindi poni:

S=A------>pi·x^2 = 2·pi·r·(r - x)------> x^2 = 2·r·(r - x)

x^2 + 2·r·x - 2·r^2 = 0

Risolvi: x = - r·(√3 + 1) ∨ x = r·(√3 - 1)

In grassetto la soluzione

L'equazione risolvente ( adesso non ho il tempo di commentarla ma solo di scriverla ) é

2 pi (r - x) r = 4 pi ( x/2 )^2

la cui forma normale é

x^2 + 2r x - 2 r^2 = 0

e naturalmente devi prendere la radice positiva.

La spiegazione é qui

http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkedbb.html

SVOLGIMENTO PASSAGGIO PER PASSAGGIO
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A) Riformulare la consegna inserendovi nomi simbolici e formule note.
Trovare la distanza d (0 < d < r) di un piano secante dal centro della sfera di raggio r, sapendo che l'area della calotta minore (2*π*r*(r - d)) è uguale all'area (quadruplo del cerchio massimo) della sfera di diametro d (di cerchio massimo (π/4)*d^2).
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B) Formulare e ridurre l'equazione che modella la consegna.
* 2*π*r*(r - d) = 4*(π/4)*d^2 ≡
≡ 2*r*(r - d) = d^2 ≡
≡ d^2 + 2*r*d - 2*r^2 = 0
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C) Risolvere sotto i vincoli noti.
* (d^2 + 2*r*d - 2*r^2 = 0) & (0 < d < r) ≡
≡ (d = (- 1 ± √3)*r) & (0 < d < r) ≡
≡ ((d = (- 1 - √3)*r ~= - 2.7*r) oppure (d = (- 1 + √3)*r ~= 0.7*r)) & (0 < d < r) ≡
≡ (d = (- 1 - √3)*r) & (0 < d < r) oppure (d = (- 1 + √3)*r) & (0 < d < r) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (d = (- 1 + √3)*r) ≡
≡ d = (- 1 + √3)*r
che è proprio il risultato atteso.