In figura è rappresentato il grafico di una funzione la cui espressione analitica è del tipo: $f(x)= \begin{cases}x^2-a \frac{x}{|x|} & \text { se } x \neq 0 \\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}$
a. Determina per quale valore di $a$ il grafico è quello riportato in figura e classifica la discontinuità che esso presenta per $x=0$.
b. Stabilisci per quale valore di a la funzione risulta continua in $x=0$ e traccia, in tal caso, il suo grafico.
10
punti
Livello 0
Prendiamo il caso in cui $x>0$. La funzione diventa, sviluppando $|x| = x$
$f(x) = x^2 - a \; \; \; \; per \; x>0$
Dal grafico si ricava
$lim_{x \to 0^+} \; \; x^2 - a = 2$
$a = 2$
Ho controllato diverse volte e sembrerebbe sia riportato un risultato errato sul libro.
Un ragionamento analogo lo si poteva fare per $x<0$ cambiando il segno della x in modulo.
Per far si che la funzione risulti continua è necessario che
$lim_{x \to 0^-} \; \; f(x)= f(0) = lim_{x \to 0^+}\; \; f(x)$
$-a = 0 = +a$ $\to $ $a=0$
Il grafico è semplicemente una parabola di equazione
$f(x) = x^2$
3729
punti
Livello 5
Il rapporto fra un valore reale x e il suo modulo è la funzione segno di x
* sgn(x) = y = x/|x| = (x < 0) & (y = - 1) oppure (x > 0) & (y = + 1)
con una discontinuità eliminabile nell'origine.
Introducendo l'eliminazione la definizione per distinzione di casi diventa
* sgn(x) = y = (x < 0) & (y = - 1) oppure (x = 0) & (y = 0) oppure (x > 0) & (y = 1)
ma anche, più concisamente,
* sgn(x) = y = (x < 0) - (x > 0)
con la solita convenzione di Boole (Falso = 0, Vero = 1).
------------------------------
La f(x) definita per distinzione di casi nell'es. 23 si semplifica usando la sgn(x) in versione estesa
* f(x) = (x != 0) & (y = x^2 - a*x/|x|) oppure (x = 0) & (y = 0) ≡
≡ f(x) = y = x^2 - a*sgn(x)
e da quest'espressione si vede che nell'origine c'è una discontinuità a salto d'ampiezza 2*|a| e quindi che il grafico corrisponde ad a = - 2.
Ovviamente per a = 0 il salto s'annulla e f(x) risulta continua e coincidente con la banale parabola
* y = x^2
col vertice nell'origine, asse sull'asse y e concavità verso y > 0.
57798
punti
Genius I
