Problema su semicirconferenza

Question

Buona domenica a tutti; vado a postare un problema geometrico; ecco il testo: è data una semicirconferenza di diametro AB = 2r; il punto D divide AB in due segmenti, AD e DB, direttamente proporzionali ai numeri 1 e 4. Innalzare da D la perpendicolare ad AB e sia C il punto di intersezione di questa perpendicolare con la semicirconferenza. Determinare, sull'arco CB, un punto P, tale che, dette M e H le proiezioni ortogonali di P rispettivamente su CD e AB, siano verificate le relazioni : 1/3 PM + 3/4 PH = r e 2* CM + 5* BH = 2r. Risposta : PM = 6/5r; PH = 4/5r. Grazie ancora una volta a chi vorrà fornirmi la soluzione dell'esercizio e anche, se possibile, il disegno che, a mio avviso, riveste una notevole importanza per comprendere lo svolgimento del problema.

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Beppe

(@beppe)

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29/01/2023 14:16

LucianoP · Accepted Answer

@beppe Ciao. Intanto figura:   [attach]35391[/attach] Dalla figura si ha: CD=√(r^2 - (3/5·r)^2) = 4·r/5 (Pitagora) Quindi osserviamo che a sistema abbiamo due equazioni da soddisfare! Risolviamo la prima: 1/3·(x + 3/5·r) + 3/4·√(r^2 - x^2) = r 3/4·√(r^2 - x^2) = r - 1/3·(x + 3/5·r) 3/4·√(r^2 - x^2) = 4·r/5 - x/3 √(r^2 - x^2) = 4·(12·r - 5·x)/45 Eleviamo al quadrato: r^2 - x^2 = 16·(5·x - 12·r)^2/2025 2025·(r^2 - x^2) = 16·(5·x - 12·r)^2 si arriva: 2425·x^2 - 1920·r·x + 279·r^2 = 0 che risolta fornisce:   x = 93·r/485 ∨ x = 3·r/5 Puoi verificare se ci sono radici estranee nella equazione: √(r^2 - x^2) = 4·(12·r - 5·x)/45 con x = 3·r/5 √(r^2 - (3·r/5)^2) = 4·(12·r - 5·(3·r/5))/45 4·r/5 = 4·r/5 quindi va bene con x = 93·r/485 √(r^2 - (93·r/485)^2) = 4·(12·r - 5·(93·r/485))/45 476·r/485 = 476·r/485 quindi va bene. Dobbiamo quindi risolvere anche l'altra equazione: 2·(4/5·r - √(r^2 - x^2)) + 5·(r - x) = 2·r 2·√(r^2 - x^2) = - 2·r - 5·x + 33/5·r 2·√(r^2 - x^2) = 23·r/5 - 5·x √(r^2 - x^2) = (23·r - 25·x)/10 r^2 - x^2 = (25·x - 23·r)^2/100 sviluppando si arriva: 725·x^2 - 1150·r·x + 429·r^2 = 0 che risolta fornisce: x = 143·r/145 ∨ x = 3·r/5 Quindi l'unica soluzione che va bene è x = 3·r/5 da cui arrivi alle soluzioni di figura. (vedi sotto la stessa!)

Problema su semicirconferenza

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