[Risolto] Problema su parabola

Ogni parabola con
* asse parallelo all'asse x
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione di forma
* Γ(a, w, h) ≡ x = w + a*(y - h)^2
e pendenze
* m(x) = ± 1/(2*√(a*(x - w)))
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La tangente (y = 4*x + 1) ha pendenza 4.
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Ogni condizione impone un vincolo sui parametri
* passaggio per A(0, 1): 0 = w + a*(1 - h)^2
* passaggio per B(2, 5): 2 = w + a*(5 - h)^2
* (0 = w + a*(1 - h)^2) & (2 = w + a*(5 - h)^2) & (a != 0) ≡
≡ (h = (12*a - 1)/(4*a)) & (w = - (8*a - 1)^2/(16*a))
da cui
* vertice V(- (8*a - 1)^2/(16*a), (12*a - 1)/(4*a))
* Γ(a) ≡ x = a*(y - (12*a - 1)/(4*a))^2 - (8*a - 1)^2/(16*a)
Il vincolo di tangenza passa dal sistema dei punti comuni
* t & Γ ≡ (y = 4*x + 1) & (x = a*(y - (12*a - 1)/(4*a))^2 - (8*a - 1)^2/(16*a))
che ha la risolvente
* a*(4*x + 1 - (12*a - 1)/(4*a))^2 - (8*a - 1)^2/(16*a) - x = 0
di discriminante
* Δ(a) = (16*a - 1)^2
che, per la tangenza, dev'essere zero; cioè
* a = 1/16
* V(- 1/4, - 1)
* Γ ≡ x = (y + 3)*(y - 1)/16
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MO IL TRIANGOLO MISTILINEO LO DEVI SCEGLIERE TU.
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AGGIUNTA del 17 gennaio 2022, 11h 35', dopo aver letto commenti e risposta di @LucianoP e l'illusorio "Il testo è scritto giusto" di @Rob2005
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Nella ragionevole interpretazione luciana del "testo scritto giusto" si avrebbe
«
Scrivi l'equazione della parabola Γ
* con asse parallelo all'asse y
* tangente in A(0, 1) alla retta y = 4*x + 1
* di vertice V(2, 5).
Tracciane il grafico.
Sia B il punto ottenuto dalla proiezione del vertice V sull'asse y.
Calcola l'area del triangolo mistilineo AVB.
»
Con questo testo la parabola Γ ha equazione di forma
* Γ(a) ≡ y = 5 + a*(x - 2)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - 2)
La tangente (y = 4*x + 1) ha pendenza 4, quindi occorre che Γ passi da A con pendenza 4; cioè
* (1 = 5 + a*(0 - 2)^2) & (4 = 2*a*(0 - 2)) ≡
≡ (a = - 1) & (a = - 1) ≡
≡ a = - 1
da cui
* Γ ≡ y = 5 - (x - 2)^2
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Con B(0, 5) l'area S(tm) del triangolo mistilineo AVB è la differenza fra quella S(tr) del triangolo rettangolo ABV e quella S(sp) del segmento parabolico delimitato dalla corda AV.
* S(tr) = |AB|*|BV|/2 = |yB - yA|*|xV - xB|/2 = |5 - 1|*|2 - 0|/2 = 4
* S(sp) = (|a|/6)*(xV - xA)^3 = (|- 1|/6)*(2 - 0)^3 = 4/3
* S(tm) = S(tr) - S(sp) = 4 - 4/3 = 8/3

 passa per il punto V (2;5)?

passa per il punto B(2,5)! Non è così?

Mi sa tanto che volevi dire parabola ad asse verticale!