Orbite nei pianeti
Nella tabella seguente sono riportate le eccentricità delle orbite degli otto pianeti del sistema solare.
a. Quale dei pianeti riportati in tabella ha l'orbita che può essere meglio approssimata da una circonferenza? E quale invece ha l'orbita che meno si adatta a essere approssimata da una circonferenza? Giustifica adeguatamente la risposta.
b. Verifica che, un'ellisse avente asse maggiore di misura $2 a$, eccentricità $e$, centro nell'origine e fuochi sull'asse $x$, ha equazione $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2\left(1-e^2\right)}=1$. Sapendo che l'asse maggiore dell'ellisse che rappresenta l'orbita della Terra intorno al sole misura circa 2 UA (unità astronomiche), deduci l'equazione di tale ellisse, fissando nel piano dell'orbita un sistema di riferimento cartesiano ortogonale avente l'origine nel centro dell'orbita, centro del Sole sul semiasse delle ascisse positive e unità di misura sugli assi pari a $1 UA$.
c. Quale sarebbe l'equazione dell'ellisse che rappresenta l'orbita della Terra, se si scegliesse un sistema di riferimento in cui i fuochi sono sempre sull'asse $x$, ma l'origine è posta nel centro del Sole (anziché nel centro dell'orbita) e l'altro fuoco giace sul semiasse delle ascisse negative?
Dato un pianeta in orbita ellittica intorno al sole, si definiscono perielio e afelio, rispettivamente, i punti dell'orbita in cui il pianeta si trova rispettivamente alla minima e alla massima distanza dal Sole. Siano $P$ e $A$, rispettivamente le distanze di perielio e afelio dal fuoco che rappresenta il centro del Sole.
d. Mostra che se una ellisse ha asse maggiore di lunghezza $2 a$ ed eccentricità $e$, allora risulta: $P=a(1-e)$ e $A=a(1+e)$. Deduci i valori di $P$ e di $A$ nel caso della Terra.
e. Mostra che, se sono noti $i$ valori di $P$ e $A$ relativi all'orbita di un pianeta, allora l'eccentricità $e$ dell'orbita è espressa dalla formula $e=\frac{A-P}{A+P}$. Plutone segue un'orbita avente eccentricità uguale a circa 0,25 e afelio a una distanza di circa 49,305 UA dal centro del Sole. Quale sarà la distanza tra il perielio dell'orbita di Plutone e il centro del Sole?
