Problema risolvibile tramite equazioni differenziali

Question

Buongiorno a tutti, sono nuovo in questo sito, vorrei un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio che proprio non riesco a svolgere:

Un corpo di massa m=1,25 kg è agganciato a una molla di costante elastica k=5 N/m ed è inizialmente
fermo a 0,5 m dalla posizione di equilibrio. Il corpo viene rilasciato e inizia a oscillare attorno alla posizione di equilibrio a causa della forza elastica. Supponendo che durante il moto agisca una forza di attrito Fa=-hv con h = 3 kg/s, determina la legge oraria del moto (il sistema è appoggiato su un piano orizzontale)

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dadu

(@dadu)

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15/07/2021 11:48

EidosM · Accepted Answer

Dalla legge di Newton si ha

m dv/dt = - kx - h v per cui

x'' + h/m x' + k/m * x = 0

x'' + 3 : 5/4 x' + 5 : 5/4 x = 0

e la legge oraria richiesta é la soluzione di

{ x'' + 2.4 x' + 4x = 0

{ x(0) = 0.5, x'(0) = 0

Le radici dell'algebrica associata u^2 + 2.4 u + 4 = 0

sono u1,2 = -1.2 +- sqrt (1.44 - 4) = -1.2 +- j 1.6

x(t) = C1 e^(-1.2 t) cos 1.6 t + C2 e^(-1.2 t) sin 1.6 t

x(0) = 0.5 => C1 = 0.5

x'(0) = C1 e^(-1.2t) *(-1.2) cos 1.6 t + ... +... + C2 e^(-1.2 t) 1.6 cos 1.6 t |t = 0 = 0

-0.6 + 1.6 C2 = 0 => C2 = 6/16 = 3/8 = 0.375

allora x(t) = 0.125 e^(-1.2 t) * [ 4 cos 1.6 t + 3 sin 1.6 t ]

EidosM

(@eidosm)

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15/07/2021 12:50

[Risolto] Problema risolvibile tramite equazioni differenziali

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