Una chiesa si trova in cima a una collina e la cella campanaria del suo campanile è a 25 m dal suolo. Per calcolare l'altezza del colle scegli come riferimento una casa situata nella pianura sottostante; misuri, rispetto alla verticale, l'angolo $\widehat{A}=73^{\circ} 20^{\prime}$, sotto cui vedi la casa dalla base del campanile, e l'angolo $\widehat{B}=65^{\circ} 40^{\prime}$, sotto cui la vedi dalla cella campanaria. Quanto è alto il colle rispetto alla pianura?
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Livello 0
h1 = 25 m; (altezza campanile);
h2 = altezza colle.
alfa = 73° + 20'/60 = 73,33°;
beta = 65 + 40'/60 = 65,67°;
AB /(h1 + h2) = tan(65,67°);
AB / h2 = tan(73,33°);
AB = (h1 + h2) * tan(65,67°);
AB = h2 * tan(73,33°) ;
(h1 + h2) * tan(65,67°) = h2 * tan(73,33°) ;
(25 + h2) * 2,21 = h2 * 3,34;
55,25 + 2,21 * h2 = 3,34 * h2;
h2 * (3,34 - 2,21) = 55,25;
h2 = 55,25 / 1,13;
h2 = 48,9 m; (circa 49 m, altezza del colle).
Ciao @bettina.
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Genius I
Osservando la figura si ricava:
$$h_{1}=\frac{D}{\tan \alpha}$$
$$h_{1}+h_{2}=\frac{D}{\tan \beta}$$
Eguagliamo le due distanze D e ricaviamo $\mathrm{h}_{1}$ :
$$
h_{1} \cdot \tan \alpha=\left(h_{1}+h_{2}\right) \cdot \tan \beta \Rightarrow h_{1}=h_{2} \cdot \frac{\tan \beta}{\tan \alpha-\tan \beta}
$$
Sostituiamo i dati:
$$
h_{1}=h_{2} \cdot \frac{\tan \beta}{\tan \alpha-\tan \beta}=25 \cdot \frac{\tan 65.67^{\circ}}{\tan 73.33^{\circ}-\tan 65.67^{\circ}} \approx 49 m
$$
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Livello 1
E', a parer mio, più intuibile operare con i complementari degli angoli dati , vale a dire traguardare base e cella campanaria del campanile dalla casa in basso ; si ha:
α = 73° 20' → γ = 16,67°
β = 65° 40' → Θ = 24,33°
si possono scrivere le seguenti relazioni :
hb/d = tan γ = 0,299 → hb = d*0,299
(hb+hc)/d = tan Θ = 0,452 → (hb+hc) = d*0,452
d è la stessa, per cui :
hb/0,299 = (hb+hc)/0,452
(hb+hc)*0,299 = hb*0,452
divido per hb:
(hb+hc)/hb = 0,452/0,299 = 1,510
hb+25 = 1,510hb
25 = 0,510 hb
hb = 25/0,510 = 49,0 m
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Genius II
Si schematizza la situazione con 2 triangoli rettangoli aventi cateti:
il primo x ed y
il secondo x ed y+h
x è la distanza misurata in orizzontale dalla casa posta in pianura
y è la quota della collina
y+h è la quota della cella campanaria (h=25 m)
Quindi:
α = 73 + 20/60----->α = 73°.33333333 =73°.333
β = 65 + 40/60----->β = 65.66666666 = 65°.667
da cui:
TAN(α) = TAN(73.333°)------>TAN(α) = 3.34016
TAN(β) = TAN(65.667°)------->TAN(β) = 2.21136
Quindi:
TAN(α) = x/y ---------> x = y·TAN(α)
TAN(β) = x/(y + h) ---------> x = (y + h)·TAN(β)
Per confronto:
y·TAN(α) = (y + h)·TAN(β) ----> y=h*TAN(β)/(TAN(α)-TAN(β))
inserisco i numeri ottenuti:
y=(25*2.21136)/( 3.34016- 2.21136)=48.976 m------>y=49 m
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Genius II
