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[Risolto] Problema risolvibile attraverso un'equazione di primo grado

  

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"Trova due numeri sapendo che la loro somma è 18, che il primo è il triplo del secondo e che il terzo è la quarta parte della differenza fra i primi due".

Ho risolto con molta fortuna questo problema attraverso l'utilizzo di un sistema scritto in questo modo: 

$\begin{cases} x+y+z=18 \\ x=3y \\ z=\frac{1}{4}\left(x-y\right) \end{cases}$

arrivando dunque alle soluzioni corrette, ovvero $12$, $4$, $2$.

Il problema è preso però dal capitolo delle equazioni di primo grado ed io i sistemi non dovrei conoscerli (dato che vengono dopo), dunque la domanda è, come risolvo tale problema senza sfruttare un sistema di equazioni? 
Mi sto imbattendo in questa tipologia di problemi per la prima volta ed ho ancora difficoltà a tradurre i testi in matematichese corretto. ? 

Grazie in anticipo.

 

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Ciao!

Semplicemente "traducendo" diversamente il problema. Attenzione però, il ragionamento sottintende sempre un sistema in realtà, ma le sostituzioni vengono svolte "mentalmente".

"Trova tre numeri sapendo che la loro somma è 18, che il primo è il triplo del secondo e che il terzo è la quarta parte della differenza fra i primi due"

"il primo è il triplo del secondo" ci fa già pensare che il secondo potrebbe essere la nostra $x$, in modo da esprimere

Primo numero = $3x$

quindi Primo + Secondo si traduce in $x+3x = 4x$

"Il terzo è la quarta parte della differenza tra i primi due " cioè il terzo numero è

$\frac14 (3x-x) = \frac14 2x$

In totale, quindi avremo

$x+3x+\frac14 2x = 18$

$ 4x + \frac12 x = 18 $

$ 8x+x = 72 $

$ x = 4$

Quindi il secondo numero è $4$ e puoi trovare di conseguenza tutti gli altri!

 

@pazzouomo Grazie mille. E' paradossale che a me sembri più semplice la risoluzione attraverso il sistema con 3 incognite? Ha l'aria di essere più "naturale" ? 

assolutamente no! è il problema principale di questi problemi: inizialmente li trovano tutti difficilissimi. Una volta fatti i sistemi (anche solo a due incognite) è più facile impostarli, anche se la risoluzione è la stessa. Il sistema ti permette di "pensare meno" nella modellizzazione iniziale!




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Che io sappia non esiste altra "formalizzazione matematica" rispetto a quella che hai scritto tu. è chiaramente un sistema di equazioni di primo grado ma se tu scrivi implicitamente 3x+x+1/4*(3x-x)=18 (che equivale a risolvere il tuo sistema con il metodo di sostituzione) ottieni la tua unica equazione di primo grado. Ma comunque poi devi applicare le altre due per trovare tutti e tre i numeri. Quindi è comunque un sistema di 3 equazioni in 3 incognite "mascherato". 🙂

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Ciao! L'impostazione è giusta, e anche il tuo matematichese!

Ti spiego come procedere. Hai riscritto i dati utilizzando le incognite x,y,z e quindi per svolgere equazioni in più incognite hai bisogno del sistema.

Per avere una sola equazione dobbiamo migliorare la scrittura dei dati. Dobbiamo cioè riscriverli in funzione di una sola lettera, ad esempio in funzione di y. 

x=3y sta bene

Nell'espressione di z compare la x, alla quale devi sostituire 3y e fare calcoli.Avrai la z in funzione di y.

E riscrivere la prima delle tre equazioni tutta in y.

Un po' quello che hai fatto per risolvere il sistema, ma senza la graffa iniziale!






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