[Risolto] Problema parabola, circonferenza, ellisse

A1) "asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse" vuol dire
* Γ(a, w, h) ≡ x = a*(y - h)^2 + w
------------------------------
A2) "vertice nel punto V(4,2)" vuol dire
* Γ(a, 4, 2) ≡ x = a*(y - 2)^2 + 4
------------------------------
A3) "passante per il punto A(-5,-1)" vuol dire
* - 5 = a*(- 1 - 2)^2 + 4 ≡ a = - 1
da cui
* Γ ≡ x = 4 - (y - 2)^2
------------------------------
B1) Tutte e sole "le rette passanti per il punto C(9,0)" sono:
B1a) r(∞) ≡ x = 9, parallela all'asse y;
B1b) r(k) ≡ k*(x - 9), per ogni pendenza k reale.
------------------------------
B) Poiché l'area di un triangolo rettangolo è il semiprodotto dei cateti, e poiché un cateto è
* a = |OC| = 9
dovendo essere
* A = a*b/2 = 9*b/2 = 81/4 ≡ b = 9/2
si trova che "la retta r che forma ... area 81/4" vuol dire
* r ≡ x/9 + y/(9/2) = 1 ≡ y = (9 - x)/2 ≡ r(- 1/2)
------------------------------
C) La risoluzione del sistema
* r & Γ ≡ (y = (9 - x)/2) & (x = 4 - (y - 2)^2) ≡
≡ (y = (9 - x)/2) & (x = 4 - ((9 - x)/2 - 2)^2) ≡
≡ (y = (9 - x)/2) & ((x - 3)^2 = 0) ≡
≡ T(3, 3)
indica che r è tangente Γ in T.
------------------------------
D1) "ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani" vuol dire
* Γ' ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
coi significati
* centro (α, β)
* semiassi (a, b) positivi
------------------------------
D2) "centro nel punto (6,3/2)" vuol dire
* Γ' ≡ ((x - 6)/a)^2 + ((y - 3/2)/b)^2 = 1
------------------------------
D3) "passante per il punto (12,3/2)" vuol dire
* ((12 - 6)/a)^2 + ((3/2 - 3/2)/b)^2 = 1 ≡ a = 6
* Γ' ≡ (x/6 - 1)^2 + ((y - 3/2)/b)^2 = 1
------------------------------
D4) "passante per il centro C del fascio di rette" vuol dire
* (9/6 - 1)^2 + ((0 - 3/2)/b)^2 = 1 ≡ b = √3
------------------------------
D5) FINALMENTE
* Γ' ≡ (x/6 - 1)^2 + ((y - 3/2)/√3)^2 = 1 ≡
≡ x^2 + 12*y^2 - 12*x - 36*y + 27 = 0

Allora, intanto risolviamo il punto A.

l'equazione della generica parabola con asse parallello a quello delle ascisse è:

$x=ay^2+by+c$

Sapendo le coordinate del vertice $V(4,2)$ sappiamo che:

$y_V=-\frac{b}{2a}=2$ --> $b=-4a$

$x_V=-\frac{\Delta}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4ac-16a^2}{4a}$

Semplificando $4a$ si ottiene che $c=4+4a$

L'equazione al momento è pertanto:

$x=ay^2-4ay+4+4a$

Adesso imponiamo il passaggio per il punto $A(-5,-1)$

$-5=a+4a+4+4a$ e quindi $a=-1$

La parabola cercata ha pertanto equazione:

$x=-y^2+4y$

Punto B

il fascio proprio di rette passanti per $C(9,0)$ ha equazione:

$y=mx+9$.

il triangolo formato da una retta del fascio con gli assi cartesiano nel primo quadrante è un triangolo rettangolo un cateto del quale vale 9. se l'area deve essere $81/4, l'altro cateto deve valere:

$area=9*cateto_2/2=81/4$ --> $cateto_2=9/2$

Quindi il secondo punto di intersezione con gli assi è $D(\frac{9}{2},0)$

Imponendo il passaggio per $D$ si trova che:

$0=m*9/2+9$ --> $m=-1/2$

$y=-1/2x+9$ è la retta cercata