[Risolto] problema parabola

La retta tangente è y=2x-2 e non quella che hai calcolato tu.

y = a·x^2 + b·x + c è la parabola

[1, 0] sono le coordinate di A

retta per A e di coefficiente angolare assegnato m = 2:

y = 2·(x - 1)----> y = 2·x - 2

La parabola passa per i due punti:

{0 = a·1^2 + b·1 + c per A

{1 = a·3^2 + b·3 + c per B

Risolvo in termini di b e c in funzione di a il sistema:

{a + b + c = 0

{9·a + 3·b + c = 1

ed ottengo:

[b = (1 - 8·a)/2 ∧ c = (6·a - 1)/2]

quindi la parabola è ora in termini dell'unico parametro a:

y = a·x^2 + (1 - 8·a)/2·x + (6·a - 1)/2

Su questa scrittura applico le formule di sdoppiamento:

[1, 0] è il punto di tangenza

(y + 0)/2 = a·1·x + (1 - 8·a)/2·((x + 1)/2) + (6·a - 1)/2

ottengo:

y = x·(1 - 4·a)/2 + (4·a - 1)/2

confronto con la retta tangente ottenuta sopra:

{(1 - 4·a)/2 = 2

{(4·a - 1)/2 = -2

In ogni caso ottengo come soluzione: a = - 3/4

Quindi:

[b = (1 - 8·(- 3/4))/2 ∧ c = (6·(- 3/4) - 1)/2]

[b = 7/2 ∧ c = - 11/4]

Equazione parabola:

y = - 3/4·x^2 + 7/2·x - 11/4

Ti rimane quindi da risolvere il problema illustrata nella seconda figura seguente. Credo che tu non abbia difficoltà:

Lo credo bene, che non riesci ad andare avanti!
Per riuscire ad andare avanti serve avere chiara la direzione da prendere e serve anche una qualche pianificazione dei passi da fare; pianificazione basata su un'accurata lettura del testo del tema, non sulle tue convinzioni sul numero e la natura delle condizioni.
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Io inizierei dall'analisi della frase equivoca
* «la parabola ... tangente in A(1, 0) alla retta 't' di pendenza due e passante per B(3, 1)»
dove il secondo congiunto "e passante" può lecitamente riferirsi sia al primo congiunto prossimo "retta" che al primo congiunto remoto "parabola tangente".
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1) "passante" si congiunge a "retta"
La retta congiungente
* AB ≡ y = (x - 1)/2
ha pendenza m = 1/2 != 2; quindi, non avendo la pendenza prescritta, impone di rigettare l'ipotesi,
2) Ne segue che "passante" si DEVE congiungere a "parabola tangente".
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Tale disambiguazione consente di riformulare l'esercizio 4 senza equivoci e separandone i problemi.
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Problema #1
Determinare l'equazione della parabola Γ che:
* ha asse di simmetria parallelo all'asse y;
* passa per B(3, 1);
* in A(1, 0) ha la tangente 't' di pendenza m = 2.
NOTA
Non essendo richiesto, non occorre determinare l'equazione della tangente 't'.
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Problema #2
Nominati i punti
* P = cursore dell'arco AB di Γ
* H = piede, sull'asse y, della perpendicolare tirata da P
* M = piede, sulla retta y = - 4, della perpendicolare tirata da P
si chiede di determinare, se esiste, la posizione di P nella quale si ha
* |PH| + |PM| = 29/4
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Come vedi, è bastato scrivere una ventina di righe di appunti SISTEMATICI per trovare la direzione da prendere e i passi da fare.
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RISOLUZIONE
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Problema #1
La generica parabola Γ con asse di simmetria parallelo all'asse y ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
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"in A(1, 0) ha la tangente 't' di pendenza m = 2" ≡ m(1) = 2*a*(1 - w) = 2 ≡ w = (a - 1)/a
"in A(1, 0) ha la tangente 't' di pendenza m = 2" ≡ 0 = h + a*(1 - w)^2 ≡ h = - a*(w - 1)^2
"passa per B(3, 1)" ≡ 1 = h + a*(3 - w)^2
quindi
* (w = (a - 1)/a) & (h = - a*(w - 1)^2) & (1 = h + a*(3 - w)^2) ≡
≡ (a = - 3/4) & (w = 7/3) & (h = 4/3)
da cui
* vertice: V(7/3, 4/3)
* equazione: y = 4/3 - 3*(x - 7/3)^2/4 = - 3*x^2/4 + 7*x/2 - 11/4
* arco AB: (y = 4/3 - 3*(x - 7/3)^2/4) & (1 <= x <= 3)
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Problema #2
Il generico P(x, y) ha
* |PH| = x
* |PM| = |y + 4|
perciò
* |PH| + |PM| = 29/4 ≡ x + |y + 4| = 29/4 ≡ (y = x - 45/4) oppure (y = 13/4 - x) oppure P(29/4, - 4)
quindi il luogo dei legittimi punti P è l'iperbole degenere
* (4*x - 29)^2 = 16*(y^2 + 8*y + 16)
e quello richiesto è l'intersezione con l'arco AB di Γ.
* ((4*x - 29)^2 = 16*(y^2 + 8*y + 16)) & (y = 4/3 - 3*(x - 7/3)^2/4) & (1 <= x <= 3) ≡
≡ P(2, 5/4)