[Risolto] Problema n. 345

@sergix

Ciao di nuovo.

Innanzi tutto un bel grafico:

E' facile riconoscere che il triangolo colorato in figura ABO è un triangolo equilatero che ha quindi angoli pari a 60°.In particolare l'angolo al centro γ = 60°.

L'angolo in P risulterà quindi la sua metà essendo angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.

α ; β ; δ = 30° sono gli angoli interni del triangolo ABP.

In particolare risulta: α + β + 30° = 180°------> β = 150° - α

Ne consegue che: 0° ≤ α ≤ 150° ossia 0 ≤ α ≤ 5·pi/6

Quindi i lati del triangolo:

c = AB= 1 ; b =AP ; a=BP

Per tale triangolo vale il teorema dei seni

c/SIN(δ) = b/SIN(β) = a/SIN(α)

1/SIN(30°) = b/SIN(150° - α) = a/SIN(α)

1/SIN(30°) = b/SIN(150° - α)------> b = 2·SIN(α + pi/6)

1/SIN(30°) = a/SIN(α)-------> a = 2·SIN(α)

Perimetro

2·p = 1 + a + b

1 + 2·SIN(α) + 2·SIN(α + pi/6)

essendo:

SIN(α + pi/6) = SIN(α)·COS(pi/6) + SIN(pi/6)·COS(α)

SIN(α + pi/6) = √3·SIN(α)/2 + COS(α)/2

si ottiene:

1 + 2·SIN(α) + 2·(√3·SIN(α)/2 + COS(α)/2)

2p=1 + (2 + √3)·SIN(α) + COS(α)

Per la risoluzione della disequazione provaci un po' tu......

Risoluzione disequazione con il metodo dell'angolo aggiunto

1 + (2 + √3)·SIN(α) + COS(α) > 0--------> (2 + √3)·SIN(α) + COS(α) > -1

pongo:

Α·SIN(α + φ) = (2 + √3)·SIN(α) + COS(α)

siccome: Α·SIN(α + φ) = Α·(SIN(α)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(α))

per confronto:

{Α·SIN(φ) = 1

{Α·COS(φ) = 2 + √3

TAN(φ) = 1/(2 + √3)-------> φ = pi/12

Α·SIN(pi/12) = 1--------> Α = √6 + √2

Quindi:

(√6 + √2)·SIN(α + pi/12) > -1 pongo: (√6 + √2)·SIN(t) > -1

osservo che:

SIN(t) = √2/4 - √6/4

- 15° < t < 195°------> - pi/12 < α + pi/12 < 13·pi/12-----> - pi/6 < α < pi

Quindi generalizzando: 

- pi/6 + 2·k·pi < α < pi + 2·k·pi