[Risolto] Problema n. 3 su parabola

a) Determina l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y di vertice (-4;16) e passante per il punto A (0; 12).

{passa per V(-4,16)

{passa per A(0,12)    quindi c=12 (possiamo evitare di scrivere questa condizione)

{asse verticale: x=-b/(2a)  quindi (x=-4)

Quindi y=ax^2+bx+12

{16 = a·(-4)^2 + b·(-4) + 12

{- b/(2·a) = -4

Quindi risolvi:

{16·a - 4·b = 4

{b = 8·a

ed ottieni:

[a = - 1/4 ∧ b = -2]-------> y = - x^2/4 - 2·x + 12

Tangente alla parabola

x=2--------> y = - 2^2/4 - 2·2 + 12----> y = 7 in P(2,7)

Adopero le formule di sdoppiamento:

(y + 7)/2 = - 2·x/4 - 2·(x + 2)/2 + 12

quindi arrivo a scrivere:

y = 13 - 3·x

c) dimostra che la retta trovata è asse del segmento FQ con F fuoco e Q proiezione di P sulla direttrice:

Fuoco: F(-b/(2a), y)

ordinata y=Yv-1/|4a|=15-------> F(-4,15)

Direttrice: y=17

Il punto P è equidistante dal fuoco F e dalla direttrice, quindi la retta tangente è asse del segmento.

(comunque lo puoi dimostrare anche servendoti delle proprietà dell'asse del segmento