[Risolto] problema moto uniformemente accelerato

DISEGNO

 
SPIEGAZIONE

Ho chiamato le due automobili $A$ e $B$.

La prima è quella che ha velocità di $21m/s$, la seconda ha velocità di $20m/s$.

Come puoi vedere dal disegno abbiamo le due auto che procedono in verso opposto, quindi $A$ va verso destra e $B$ verso sinistra.

Per comodità, immagina che la linea rossa sia l’asse $x$ del piano delle ascisse, dove abbiamo il punto $A$ che corrisponde a $0m$ e $B$ a $163m$, come scritto nel testo.

Scriviamo le leggi orarie delle due automobili, poi le uguagliamo così da trovare l’istante $t$ in cui si incontrano.

La legge oraria nel moto uniformemente accelerato si calcola in questo modo: $x=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0}$, dove $x$ è lo spazio, $a$ l’accelerazione, $v_{0}$ la velocità iniziale, $x_{0}$ lo spazio iniziale e $t$ il tempo.

 
SOLUZIONE

L’accelerazione nell’auto $A$ è negativa, perché frenando la macchina rallenta; nella macchina $B$ invece è positiva, perché procede nel verso opposto.

La velocità è positiva nell’auto $A$ perché si posta verso destra, e negativa nell’auto $B$ perché procede nel verso opposto.

$x_{a}=\frac{1}{2}\cdot(-1m/s^{2})\cdot{t^{2}}+21m/s\cdot{t}$

$x_{b}=\frac{1}{2}\cdot{1m/s^{2}}\cdot{t^{2}}-20m/s\cdot{t}+163m$

Ora eliminiamo le unità di misura per comodità e uguagliamo le due leggi orarie, trovando l’istante in cui le auto si incontrano.

$x_{a}=x_{b}$

$-\frac{t^{2}}{2}+21t=\frac{t^{2}}{2}-20t+163$

$-t^{2}+42t=t^{2}-40t+326$

$t^{2}-41t+163=0$

$t=\frac{41\pm\sqrt{1029}}{2}$

$t_{1}=4,461s$ e $t_{2}=36,55s$

 
Il valore da prendere il considerazione è il primo, cioè quando le automobili si incontrano per la prima volta.

La riposta è la c.

  

Ciao @Chiarachiaretta, se hai dei dubbi chiedi pure scrivendo un commento. 😊 

 

 

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grazie mille, chiari ed esaustivi.

In pratica, per calcolare il tempo in cui 2 macchine si urtano (nel moto rettilineo uniformemente accelerato) devo uguagliare lo spazio percorso (x1=x2).

Risolvendo l'equazione di secondo grado, prendo il primo valore, perché il secondo corrisponde ad un secondo urto.

 

accelerazione a = -1,0 m/sec^2

163 = (V1+V2)*t+2*(a/2*t^2)

163 = (20+21)*t-t^2

163-41t+t^2 = 0 

t = (41+√41^2-163*4) / 2 = 4,461 sec 

 

Il modello matematico più semplice per questo problema è quello di un solo MRUA (Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato) di posizione
* s(t) = S + t*(V + (a/2)*t)
e velocità
* v(t) = V + a*t
dove le costanti (accelerazione "a" e valori iniziali, all'istante t = 0 in cui inizia la frenata) sono
* a = - 1 + (- 1) = - 2 m/s^2
* s(0) = S = 0
* v(0) = V = 21.0 + 20.0 = 41 m/s
NB: i moduli sono sommati perché le due auto si corrono incontro e V ed "a" hanno segno opposto perché l'accelerazione deve far diminuire la velocità fino a fermare il punto materiale mòbile prima che s(t) raggiunga i 163.0 m (oppure il punto materiale si schianterà contro il muro ideale che lì si trova a rappresentare lo scontro fra le due auto).
Nell'elaborazione del problema hanno senso solo gl'istanti t >= 0 dall'inizio della frenata in poi.
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RISOLUZIONE
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A) Specializzare il modello al caso in esame.
* s(t) = t*(41 + (- 2/2)*t) ≡ s(t) = (41 - t)*t
* v(t) = 41 - 2*t
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B) Calcolare l'istante T (T >= 0) in cui il mòbile diventa immòbile.
* v(T) = 41 - 2*T = 0 ≡ T = 41/2 s
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C) Calcolare la posizione all'istante T e confrontarla con quella del "muro".
* s(41/2) = (41 - 41/2)*41/2 = (41 - 41/2)*41/2 = 1681/4 = 420.25 > 163.0 m
Quindi l'urto ha luogo
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D) Calcolare l'istante dell'urto U (U >= 0) in cui il mòbile raggiunge la posizione di 163 m.
* s(U) = (41 - U)*U = 163 ≡
≡ 41*U - U*U - 163 = 0 ≡
≡ U^2 - 41*U + 163 = 0 ≡
≡ (U - (41 - 7*√21)/2)*(U - (41 + 7*√21)/2) = 0 ≡
≡ (U1 = (41 - 7*√21)/2 ~= 4.460985 s) oppure (U2 = (41 + 7*√21)/2 ~= 36.53901 s)
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E) RISPONDERE AL QUESITO "calcolare dopo quanto tempo si urtano": OPZIONE (f).
(a) 3.9283*10^(− 2) s [ERRATA]
(b) 163.0 s [ERRATA]
(c) 4.4610 s [ERRATA, ma quasi corretta (se fosse stata "4.461 s"; così è male approssimata!)]
(d) 3.9756 s [ERRATA]
(e) 6683.0 s [ERRATA]
(f) Nessuna delle precedenti [CORRETTA]