[Risolto] Disequazione irrazionale con moduli

SOLUZIONE

$\frac{|3-2x|+|4x+1|}{\sqrt[3]{x+2}}\leq0$

Determiniamo le condizioni di esistenza

$x≠-2$

Dividiamo in due casi possibili

$\begin{cases}|3-2x|+|4x+1|\leq0\\\sqrt[3]{x+2}>0\end{cases}$

$\begin{cases}|3-2x|+|4x+1|\geq0\\\sqrt[3]{x+2}<0\end{cases}$

Risolviamo

$\begin{cases}x\in\emptyset\\x>-2\end{cases}$

$\begin{cases}x\in\mathbb{R}\\x<-2\end{cases}$

Troviamo l’unione

$x<-2$

• il risultato è stato verificato •

Per me il metodo più immediato per risolvere la disequazione
* f(x) = N(x)/D(x) = (|3 - 2*x| + |4*x + 1|)/(x + 2)^(1/3) <= 0
è quello per ispezione: guardarla attentamente e ragionarci su.
Il numeratore N(x) è la somma di due moduli non entrambi nulli (N(x) >= N(- 1/4) = 7/2), quindi positivo ovunque.
Il denominatore D(x) è una radice cubica, concorde col suo radicando (D(- 2) = 0), quindi negativo per x < - 2.
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per x < - 2, f(x) < 0
per x = - 2, f(x) è indefinita
per x > - 2, f(x) > 0

come ti dissi nei precedenti post, devi cercare di ragionare sull'equazione e disequazione che hai davanti, siccome al numeratore hai la somma di due moduli, sicuramente, il numeratore è sempre maggiore o uguale di 0, quindi la disequazione sarà minore stretta di 0 se e solo se il denominatore è minore stretto di 0, quindi se e solo se x<-2. Non c'è bisogno di stare a fare conti o sistemi, quando la soluzione della disequazione è immediata e si vede ad occhio. Bisogna sempre cercare la via più breve per svolgere un esercizio, non quella più lunga. Ti faccio un esempio, fai finta di dover percorre 500 m, ovviamente per percorrere 500 m fai la strada più breve, ovvero prosegui sempre dritto e arrivi subito, non stai a fare slalom, o vai prima a destra e poi a sinistra, perchè perderesti più tempo. La stessa cosa vale in matematica, non ha senso districarsi nei conti, quando si può arrivare alla soluzione per vie molto più brevi.