Problema moto parabolico

Ciao

Io risolverei il problema nel seguente modo. Trasformerei il problema in un problema piano (x,y).

Quindi indicherei con

[η, μ]  le componenti iniziali della velocità di lancio: INCOGNITE

[α, β] è la mia posizione di lancio: NOTA

[γ, δ] è la posizione del mio nemico: NOTA

Dalla teoria conosco le equazioni:

{x = α + η·t

{y = β + μ·t - 1/2·g·t^2

Quindi fisso il tempo t =T affinché il proiettile possa raggiungere il nemico che si trova nella posizione nota.

La potenza di fuoco ed in definitiva le componenti della velocità iniziale saranno determinate dal sistema:

{γ = α + η·Τ

{δ = β + μ·Τ - 1/2·g·Τ^2

che mi permetterà di determinare le due incognite:

[η = (γ - α)/Τ ∧ μ = (g·Τ^2 - 2·(β - δ))/(2·Τ)]

Se pensi a un cannone il moto parabolico te lo sogni in Technicolor™.
Se stai programmando un videogioco allora assimili la bomba a un punto materiale e ti riduci a un esercizio di cinematica senza vento, temperatura, umidità, ... col moto parabolico.
Se l'accelerazione è quella di gravità "g" allora hai un moto che si svolge nel piano verticale che contiene i punti C ed N e pertanto non ti servono tre coordinate: ne bastano due; se il videogioco è tridimensionale ti serve una trasformazione di coordinate prima dei calcoli e una dopo.
ATTENZIONE #1: Dire "Scelgo tempo prima del impatto TempoPerColpire = Qualcosa", scusami, mi pare una fesseria! Cioè un artigliere cambia il pezzo secondo il bersaglio? Una volta scelta l'arma è la velocità di lancio ad essere una costante iniziale, poi il tempo di volo dipende dalle posizioni relative.
ATTENZIONE #2: nei sintagmi "riguardante le assi XZ" e "nelle assi xz il proiettile" c'è un errore lessicale: "le assi" (femminili) sono tavole piatte, "gli assi coordinati" sono maschili.
ATTENZIONE #3: nella frase "facendo cambiare la posizione della bocca di fuoco e quindi anche l'altezza iniziale del proiettile" c'è un errore concettuale: l'altezza iniziale del proiettile non è sulla bocca di fuoco, ma nella culatta del pezzo (che tu chiami "i piedi").
Poi fai come vuoi: io mi riferisco alla trattazione generica nel piano CgN.
Nel riferimento Oxy di quel piano faccio conto che la tua trasformazione di coordinate abbia posto il punto di lancio in (0, 0) e il bersaglio in (w, h): per ogni velocità V di lancio ci sono due diversi alzi di possibili traiettorie che li connettono e che, per i cannoni veri, si chiamano "tiro teso" (Tavole Siacci) e "tiro a mortaio" (Tavole Picone).
Vedi la mia risposta al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/37610/
dove "l'abnorme espressione simbolica" è proprio quella che ti serve da programmare, metti il calcolo in WolframAlpha e stampati i risultati.