Problema MATURITA'

Ciao Luca!

Ecco il procedimento.

$f(x)= \frac{\pi (1-x)}{x^2-2x+2}$

Dimostra che la curva $\gamma$ è simmetrica rispetto al punto (1,0) e che $-\pi/2 \leq f(x) \leq \pi/2$.

Per dimostrare una simmetria rispetto ad un punto generico, conviene effettuare una traslazione per portare il punto nell'origine e vedere poi se la funzione traslata ha qualche simmetria.

Dovendo traslare il punto (1,0) in (0,0) dobbiamo applicare il vettore di traslazione $v=(-1,0)$. 

Ricordando che una traslazione di vettore v(a,b) si ottiene attraverso le sostituzioni:

{$x=x'-a = x'+1$

{$y=y'-b= y'+0$

otteniamo la nuova funzione:

$f(x)=\frac{\pi(1-(x'+1)}{(x'+1)^2-2(x'+1)+2}$

svolgendo i calcoli ricaviamo:

$f(x)=\frac{-x' \pi}{x'^2+1}$

Come puoi notare, quello che hai ottenuto è una funzione dispari, infatti:

$f(-x)= \frac{+x' \pi}{x^2+1}=-f(x)$ 

Dimostriamo ora la disuguaglianza.

Notiamo prima di tutto che la funzione è continua (il denominatore non si annulla in nessun punto). 

Cerchiamo gli estremi della funzione tramite la derivata prima (di cui ometto i calcoli):

$y'= \frac{x \pi (x-2)}{(x^2-2x+2)^2}$

La derivata si annulla in $x=0$ e $x=2$, che sono i nostri punti stazionari. Notiamo che:

$f(0)= \pi/2$

$f(2) = -\pi/2$

Dunque poiché gli estremi relativi sono proprio $\pm \pi/2$, e poiché la funzione è continua, la funzione ammetterà tutti i valori compresi tra massimo e minimo (teorema dei valori intermedi), dunque vale la disuguaglianza.

Traccia un grafico probabile della funzione g(x)=cos(f(x)) e stabilisci quali punti di estremo relativo ha tale funzione.

Cerchiamo di ricavare le caratteristiche della funzione, a partire da f(x):

- f(x) ha asintoti orizzontali y=0. Quindi g(x) avrà asintoti orizzontali y=1 perché cos(0)=1.

- Anche g(x) è una funzione continua, dato che sia f(x) che il coseno lo sono

- f(x) passa per (0, $\pi/2$, quindi g(x) passa per (0, 0) dato che cos($\pi/2$)=0

- f(x) passa per (1,0), quindi g(x) passa per (1, 1) dato che cos(0)=1

- f(x) passa per (2, $-\pi/2$) quindi g(x) passa per (2,0) dato che cos(-$\pi/2$)=0

Con questo si riesce a tracciare un grafico probabile (vedi la figura allegata).

Nota inoltre che la funzione coseno assume valore massimo pari a 1 nel momento in cui il suo argomento vale 0. Questo vuol dire che avremo sicuramente un massimo nel punto in cui f(x)=0, dunque nel punto (1,0).

Dal punto $(1/2, \pi/2)$ conduci le tangenti a $\gamma$ e determina le loro equazioni. 

Abbiamo già la derivata di f(x) che è il coefficiente angolare della generica tangente nei punti della funzione:

$m(x)=\frac{x \pi (x-2)}{(x^2-2x+2)^2}$

La tangente, di equazione generica:

$y-y_0 = m (x-x_0)$

in questo caso avrà equazione:

$y-\frac{\pi (1-x_0)}{x_0^2-2x_0+2} = \frac{x_0 \pi (x_0-2)}{(x_0^2-2x_0+2)^2}(x-x_0)$

avendo sostituito $y_0=f(x_0)$.

Poiché noi chiediamo che la funzione passi per il punto (1/2, $\pi/2$), sostituiamo al posto di (x,y):

$\pi/2-\frac{\pi (1-x_0)}{x_0^2-2x_0+2} = \frac{x_0 \pi (x_0-2)}{(x_0^2-2x_0+2)^2}(1/2-x_0)$

Ora risolvendo l'equazione, determiniamo il punto $x_0$ in cui la tangente passa per il punto richiesto:

Moltiplicando per il mcm $2(x^2-2x+2)^2$ otteniamo:

$\pi(x^2-2x+2)^2 - 2\pi (1-x)(x^2-2x+2) = \pi x (x-2) - 2\pi x^2(x-2)$

tralasciando i vari calcoli, otteniamo:

$\pi x(x^3 -3x+2) = 0$

Da cui

$x=0$

e scomponendo il trinomio tramite Ruffini: 

$x=-2$ e $x=1$

Quindi abbiamo tre tangenti nei tre punti sopra indicati. Per scrivere la tangente ci serve solo la m e il punto y da cui passa, per cui:

$f(0)=\pi/2 $

$m(0)=0$

da cui: $y-\pi/2 = 0$ che sarà la nostra retta r

$f(-2)=3/10 \pi$

$m(-2)= 2/25 \pi$

da cui $y-3/10 \pi = 2/25 \pi (x+2)$ cioé $y=2/25 \pi x + 23/50 \pi$

infine

$f(1)=0$

$m(1)=-\pi$

da cui: $y-0 = -\pi(x-1)$ che sarà la retta s.

Dopo aver indicato con r e s le rette tangenti che passano per (0, pi/2) e (1,0) di $\gamma$ calcola l'area della regione di piano delimitata da $\gamma$ r ed s

Ricapitolando, abbiamo che:

r: $y=\pi/2$

s: $y=-\pi(x-1)$

(vedi l'immagine allegata)

Possiamo calcolare l'area considerando due integrali, uno che arriva fino a P per la retta r e l'altro che va da P al punto di tangenza per la retta s:

$A=\int_0^{1/2} r-f(x) dx + \int_{1/2}^{1} s-f(x) dx$

Sostituendo:

$S=\int_0^{1/2} \pi/2 - \frac{\pi (1-x)}{x^2-2x+2} dx + \int_{1/2}^1 -pi(x-1)-\frac{\pi (1-x)}{x^2-2x+2} dx$

Dato che possiamo usare la linearità dell'integrale, abbiamo che:

$\int_0^{1/2} \pi/2 dx = [\pi/2 x]_0^{1/2} = \pi/4$

$\int_{1/2}^1 -pi(x-1) dx = [-pi(x^2/2 -x)]_{1/2}^1 = \pi/8$

Troviamo una primitiva di f(x):

$\int \frac{\pi (1-x)}{x^2-2x+2} dx 

poichè la derivata di $D(x^2-2x+2)=2x-2$, moltiplichiamo e dividiamo per -2: ottenendo:

$-\frac{1}{2}\int \frac{\pi(2x-2}{x^2-2x+2} dx = -\frac{1}{2} \pi ln(x^2-2x+2)$

Dunque 

$\int_0^{1/2} f(x) dx= 1/2 \pi (ln(5/4)-ln(2))$

$\int_{1/2}^1 f(x) dx = -1/2 \pi ln(5/4)$

e mettendo tutto insieme:

$A=\pi/4 - 1/2 \pi ln(5/4) - 1/2 \pi ln(2) + \pi/8 +1/2 \pi ln(5/4)= 3/8\pi -1/2 \pi ln(2)$

Indicata con F la funzione integrale $F(x)=\int_0^t f(t)dt$ determina F(0), F(1), F(2). 

F(0) è l'integrale da 0 a 0, dunque F(0)=0.

F(2) si determina altrettanto semplicemente: la funzione è simmetria rispetto al punto x=1 ed è dispari, quindi facendo un integrale da 0 a 2, otteniamo zero (vedi la figura).

F(1) va determinato. Conosciamo già la primitiva di f, quindi:

$F(1)= \int_0^1 -\frac{1}{2} \pi ln(x^2-2x+2) dx = [-\frac{1}{2} \pi ln(x^2-2x+2)]_0^{1} = -1/2 \pi (ln1-ln2) = 1/2 \pi ln2$

Deduci da y l'andamento di F 

Sappiamo che:

- F passa per i punti (0,0), (2,0) e (1,1/2 $\pi$ ln2) da quanto appena fatto.

- Poiché f si annulla in x=1 e dato che f è la derivata di F, allora F avrà un massimo in x=1.

- La funzione è crescente fino a 1 e decrescente dopo, dato che la derivata f è positiva prima di 1 e negativa dopo.

(Vedi figura)

 Scrivi l'equazione della retta tangente a quest'ultimo nel punto di ascissa x=2.  

Sappiamo già che F(2)=0.

Inoltre sapendo che F'(x)=f(x) dal teorema fondamentale del calcolo integrale, otteniamo che:

$m=f(2)= -\pi/2$

ed ecco la tangente:

$y-0 = -\pi/2 (x-2)$.

Un grande in bocca al lupo per l'esame!!

Noemi