Fra i quattro coefficienti della generica funzione omografica
* y = (a*x + b)/(c*x + d)
il fascio Γ(k) dato da considerare ne ha solo tre parametrici, due opposti e tutt'e tre nello stesso parametro k
* a = (1 - k)
* b = (k - 1) = - a
* c = 1
* d = (2 - k)
cioè
* Γ(k) ≡ y = (1 - k)*(x - 1)/(x + (2 - k))
quindi i casi particolari da esaminare preliminarmente sono solo due.
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1) Per k = 1
* Γ(1) ≡ y = 0 ≡ l'asse x
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2) Per k = 2
* Γ(2) ≡ y = 1/x - 1
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La generica
* Γ(k) ≡ y = (1 - k)*(x - 1)/(x + (2 - k)) ≡
≡ x*y + (k - 1)*x - (k - 2)*y - (k - 1) = 0
ha
* asintoto verticale: x = - d/c ≡ x = k - 2
* asintoto orizzontale: y = a/c ≡ y = 1 - k
* prodotto degli asintoti: x*y + (k - 1)*x - (k - 2)*y - (k - 1)*(k - 2) = 0
* centro C(k - 2, 1 - k)
quindi luogo dei centri (quesito c) la retta che si ha eliminando k dalle coordinate di C
* (x = k - 2) & (y = 1 - k) ≡ (k = x + 2) & (y = - (x + 1))
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) Curve degeneri (a*d = b*c ≡ k ∈ {1, 3})
* Γ(1) ≡ y = 0 ≡ l'asse x
* Γ(3) ≡ y = - 2 ≡ una parallela all'asse x
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b1) LE generatrici, col determinativo, non esistono: la combinazione lineare con coefficienti (p, q) non entrambi nulli di due qualsiasi iperboli distinte non degeneri
* (p*Γ(k1) + q*Γ(k2) = 0) & (p^2 + q^2 > 0) & ((k1 != k2) ∉ {1, 3})
genera il fascio.
La richiesta corretta sarebbe dovuta essere di "due generatrici, una delle quali non parametrica".
Da
* Γ(k) ≡ y = (1 - k)*(x - 1)/(x + (2 - k)) ≡
≡ x*y + (k - 1)*x - (k - 2)*y - (k - 1) = 0 ≡
≡ x*y + k*x - 1*x - k*y + 2*y - k + 1 = 0 ≡
≡ x*y - x + 2*y + 1 + k*(x - y - 1) = 0
si ha
* G1 ≡ Γ(0) ≡ x*y - x + 2*y + 1 = 0 ≡ y = (x - 1)/(x + 2) ≡ Γ(0)
* G2 ≡ x - y - 1 = 0 ≡ y = x - 1 ≡ curva esclusa dal fascio
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b2) Punti base
* Γ(0) & Γ(2) ≡ (y = (x - 1)/(x + 2)) & (y = 1/x - 1) ≡ A(- 1, - 2) oppure B(1, 0)
La verifica è banale
* Γ(k) ≡ - 2 = (1 - k)*(- 1 - 1)/(- 1 + (2 - k)) ≡ (1 - k)*(- 2)/(1 - k) = - 2 ∀ k
* Γ(k) ≡ 0 = (1 - k)*(1 - 1)/(1 + (2 - k)) ≡ (1 - k)*0/(3 - k) = 0 ∀ k
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c) Luogo dei centri, vedi sopra: y = - (x + 1)
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d1) Asintoto y = - 1: da y = 1 - k ≡ k = 2
* γ ≡ Γ(2) ≡ y = 1/x - 1
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d2) Grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+y%3D1%2Fx-1
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d3) Vertici reali
* centro C(k - 2, 1 - k) = (0, - 1)
* asse trasverso y = x - 1
* vertici (y = x - 1) & (y = 1/x - 1) ≡ A(- 1, - 2) oppure B(1, 0)
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d4) E' vero che ...: Sì
