[Risolto] Problema matematica

PUNTO A

Le recinzioni sono rettangolari siano quindi $x$ ed y le misure dei due lati.
I 60 metri di rete devono essere suddivisi tra i 7 lati: 4 di misura $x$ e 3 di misura $y,$ la nostra prima equazione
è:
\[
4 x+3 y=60
\]
L'area complessiva dei due lotti è data dal doppio del prodotto delle due dimensioni x ed y :
\[
A(x)=2 x y
\]
Ricaviamo y dalla prima equazione:
\[
y=\frac{60-4 x}{3} \rightarrow y=20-\frac{4}{3} x
\]
Ed ora sostituiamo in $A(x):$
\[
\begin{array}{c}
A(x)=2 x\left(20-\frac{4}{3} x\right) \\
A(x)=40 x-\frac{8}{3} x^{2}
\end{array}
\]

PUNTO B

Imponiamo che l'area totale sia uguale a $160 \mathrm{m}^{2}$
$A(x)=160$
$40 x-\frac{8}{3} x^{2}=160$

Risolviamo l'equazione di secondo grado:
\[
\frac{8}{3} x^{2}-40 x+160=0
\]

\[
\begin{array}{l}
x^{2}-15 x+60=0 \\
x=\frac{15 \pm \sqrt{225-240}}{2}
\end{array}
\]
Essendo $\Delta<0$ non ci sono soluzioni reali, quindi effettivamente i due lotti non possono delimitare un'area complessiva di $160 \mathrm{m}^{2}$
Ripetiamo ora imponendo che l'area totale sia 144
\[
\begin{array}{l}
A(x)=144 \\
40 x-\frac{8}{3} x^{2}=144 \\
\frac{8}{3} x^{2}-40 x+144=0 \\
x^{2}-15 x+54=0 \\
x=\frac{15 \pm \sqrt{9}}{2}=\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{15-3}{2}=6 m \\
x_{2}=\frac{15+3}{2}=9 m
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Ricordiamo che l'altra dimensione è:

$y=20-\frac{4}{3} x=\left\{\begin{array}{c}x_{1}=6 m \rightarrow y_{1}=12 m \\ x_{2}=9 m \rightarrow y_{2}=8 m\end{array}\right.$
Avremo allora le due possibili combinazioni:

Sono possibili due lotti con lati $6 \times 12$, oppure due lotti con lati $9 \times 8$ 

PUNTO C

La funzione $A(x)$ è una PARABOLA e, il suo vertice rappresenta il punto in cuila funzione raggiunge il massimo valore.

Ricordiamo che le coordinate del vertice sono funzione dei parametri a,b,c, del trinomio di secondo grado che rappresenta la parabola nel piano cartesiano:
\[
V=\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)
\]
Riscriviamo la funzione nel modo seguente:
\[
y=40 x-\frac{8}{3} x^{2} \text { ovvero } y=f(x)
\]
Con
\[
\left\{\begin{aligned}
a &=-8 / 3 \\
b &=40 \rightarrow \text { il delta: } \Delta=b^{2}-4 a c=b^{2}=1600 \\
c &=0
\end{aligned}\right.
\]

\[
V=\left(\frac{15}{2} ; 150\right)
\]
Sostituendo nella funzione verifichiamo che l'area massima è $150 \mathrm{m}^{2}$
\[
A_{\max }(x)=y_{\max }=f\left(\frac{15}{2}\right)=40 \cdot \frac{15}{2}-\frac{8}{3}\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=150 \mathrm{m}^{2}
\]

PUNTO D

Riscriviamo la prima equazione in funzione della lunghezza della rete:
\[
\begin{array}{c}
4 x+2 y=60 \\
y=30-2 x
\end{array}
\]
Riscriviamo la funzione area $A(x)$
\[
\begin{array}{l}
A(x)=2 x y \\
A(x)=2 x(30-2 x) \\
A(x)=60 x-4 x^{2}
\end{array}
\]
Otteniamo un'altra parabola:
\[
y=60 x-4 x^{2}
\]
il cui vertice ha sempre coordinate:
\[
V=\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)
\]
Con:
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{c}
a=-4 \\
b=60 \rightarrow \text { il delta: } \Delta=b^{2}-4 a c=b^{2}=3600 \\
c=0
\end{array}\right. \\
\begin{array}{l}
V=\left(\frac{15}{2} ; 225\right) \\
A_{\max }(x)=y_{\max }=f\left(\frac{15}{2}\right)=60 \cdot \frac{15}{2}-4\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=225 \mathrm{m}^{2}
\end{array}
\end{array}
\]

PUNTO E

Riscriviamo la prima equazione in funzione della lunghezza della rete:
\[
\begin{array}{l}
6 x+4 y=60 \\
3 x+2 y=30 \\
y=15-\frac{3}{2} x
\end{array}
\]
Riscriviamo la funzione area $A(x)$
\[
\begin{array}{l}
A(x)=3 x y \\
A(x)=3 x\left(15-\frac{3}{2} x\right) \\
A(x)=45 x-\frac{9}{2} x^{2}
\end{array}
\]
Otteniamo un'altra parabola:
\[
y=45 x-\frac{9}{2} x^{2}
\]
il cui vertice ha coordinate:
\[
V=\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)
\]
Con:
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
a=-\frac{9}{2} \\
b=45 \rightarrow \text { il delta: } \Delta=b^{2}-4 a c=b^{2}=2025 \\
c=0
\end{array}\right. \\
\begin{array}{l}
V=\left(5 ; \frac{225}{2}\right) \\
A_{\max }(x)=y_{\max }=f(5)=45 \cdot 5-\frac{9}{2}(5)^{2}=\frac{225}{2}=112,5 m^{2}
\end{array}
\end{array}
\]
L'Area massima reclinabile complessivamente risulta inferiore.

a. Dal disegno esistono 4 lati che valgono $x$. i restanti 3 lati (uno è a comune) misurano quindi:

$3lati=60-4x$ e quindi un singolo lato misura $lato=20-\frac{4x}{3}$

L'area in funzione di $x$ risulta pertanto:

$A(x)=2x(20-4x/3)=-\frac{8}{3}x^2+40x$

b)

l'espressione è di secondo grado il cui grafico è una parabola con concavità rivolta verso il basso. quindi il massimo possibile si ottiene nel vertice:

$x_V=-b/2a=15/2$ 

$y_V=-\Delta/4a=150$

Se ne deduce che la massima area si ottiene quando $x=7.5 m$ e tale area massima vale 

$A_{max}=150 m^2$

Problema: Recinzioni
Si hanno a disposizione 60m di rete, con la quale si vogliono realizzare due recinti rettangolari, aventi le stesse dimensioni e con un lato in comune, come indicato in Fig. a.

a. Esprimi, in funzione di x, l'area complessiva A(x) dei due lotti delimitati dalla recinzione.
b. Verifica per via algebrica che non è possibile che i due lotti delimitino un'area complessiva di 160m2. Se l'area complessiva delimitata è di 144m^2, determina le dimensioni di ciascun lotto (esistono due risposte accettabili).
c. Determina la massima area che può essere delimitata realizzando due recinti come in Fig. a, avendo a disposi zione 60m di rete.

perimetro = 60 = 4x+3y

x = (60-3y)/4

area A = 2(x*y) = 2(60-3y)/4*y = 30y-1,5y^2

massima area recintabile 150 m^2 in corrispondenza di x = 7,5 m 

area totale recintabile pari a 144 m^2 in corrispondenza di x1 = 6 m ed x2 = 9 m