Salve, stavo svolgendo tutti gli sporadici esercizi per i limiti notevoli di funzioni quando mi sono praticamente impantanato in questo:
lim (3x-1/3x+2)^x/2 ; il risultato riportatomi è: 1/e^1/2
x->∞
Qualche anima pia che mi dia qualche dritta?
27
punti
Livello 0
..
lim(x→oo) [(3x-1)/(3x+2)]^(x/2) =
forma indeterminata del tipo 1^oo.
sommiamo e sottraiamo 3 al numeratore
= lim(x→oo) [(3x-1-3+3)/(3x+2)]^(x/2) =
= lim(x→oo) [(3x+2-3)/(3x+2)]^(x/2) =
= lim(x→oo) [(1 - 3/(3x+2)]^(x/2) =
Ora assomiglia al limite che definisce il numero e.
Cambio di variabile
y=3x+2 per cui x/2 = (y-2)/6 = y/6 -1/3
inoltre
se x→oo allora y→oo
Procedendo con la sostituzione
= lim(y→oo) (1 - 3/y)^(y/6 -1/3) =
= lim(y→oo) [(1 - 3/y)^y ]^(1/6) / (1 - 3/y)^1/3 =
Applichiamo una variante del limite notevole che definisce il numero e
lim(y→oo) [(1 - 3/y)^y = e⁻³ = 1/e³
= (1/e³)^(1/6) / 1 = 1/e^(1/2) = 1/√e
1119
punti
Livello 2
Oddio grazie mille davvero. Essenziale quell intuizione del +3 e -3 a numeratore ma più che altro non sapevo che (1-3/y)^y era una variante del limite notevole, quindi posso affermare che in un caso analogo (1-1/x)^x =e^-1? cioè il numeratore della frazione che poi mi tende a 0 nel limite notevole è esponente della mia e?
Comunque veramente mille grazie anche per la disponibilità!
@marco_biglietti Esattamente.
Di nulla, buona serata! 🤗
