[Risolto] Dimostrazione per induzione

@sebastiano grazie mille...

Questa relazione potrebbe essere dimostrata per induzione? 

@giovan-battista_giacalone  come promesso 🙂

In realtà la formula non è vera per ogni $n$, quindi non è possibile ottenere una dimostrazione per induzione, basta trovare un controesempio per cui la relazione non vale.
In particolare è un risultato noto che l'esponenziale è maggiore di qualuqnue polinomio, quindi io andrei a dimostrare per induzione il contrario, ovvero che
$2^n > n^2+1$.
Andando per tentativi si trova che per $n=5$ questo è vero. Supponiamo quindi che sia vero per un certo $n$ e vogliamo dimostrare che, avendo in ipotesi
$2^n > n^2+1$, allora

$2^{n+1} > (n+1)^2+1$

Riscriviamo $2^{n+1}$ come $2*2^n$ anche uguale a $2^n+2^n$

Pertanto
$2^n+2^n > n^2+2n+1+1$
riorganizzando a destra
$2^n+2^n > n^2+1+2n+1$

Ma noi sappiamo già che $2^n > n^2+1$, quindi basta dimostrare che
$2^n > 2n+1$

Questa o la dai per scontata (è una relazione quasi ovvia) oppure la dimostri nuovamente per induzione (è una banalità).
Quindi per finire abbiamo dimostrato che la relazione
$2^n > n^2+1$ è vera per tutti gli $n \geq 5$

@sebastiano non sa quanto vorrei stringerle la mano... per adesso mi limito a ringraziarla infinitamente

@giovan-battista_giacalone prego si figuri, per così poco :). ma preferirei, se non le dispiace, che almeno su sosmatematica mi si dia del "tu". Quindi ti rigranzio, ti auguro una buona giornata e sono contento di esserti stato utile 🙂