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[Risolto] Cos’è una funzione reale di variabile reale

  

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Ciao a tutti,

qualcuno potrebbe per favore spiegarmi cos’è una funzione reale di variabile reale?

So che è una funzione definita per valori reali, cioè il suo dominio è $\mathbb{R}$ o un sottoinsieme, e l’insieme di arrivo è $\mathbb{R}$ stesso.

Ma al di là della definizione, non riesco a riconoscerle né algebricamente né da un grafico.

Ad esempio perché $y=\frac{1}{4}x^{2}$ è una funzione da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$, ma $y=\sqrt{x^{2}-1}$ non lo è?

E come le riconosco dai grafici?

 

Grazie mille in anticipo! 😊

Autore

@SosMatematica, perché la domanda è già considerata Risolta? Avrei preferito che rispondesse anche qualcun altro, dato che è passata appena un’ora.

Grazie 😊

@alex1 certamente anzi dire il contrario vorrebbe dire parlare di una non funzione.

Ma prendiamo ad esempio il caso che mi hai citato tu sopra la funzione radice che hai descritto  avrà come codominio R per tutto il sotto insieme di R che va da (risolvendo la disequazione) x>=1 v x<=-1. Se mi dici che la stai considerando nel caso R->R ossia prendi come dominio tutto R allora ovviamente ti dico che ci sono valori per cui quella funzione non è definita nel campo dei numeri reali ossia in R.

ovvero scriverai che per l'intervallo ]-1,1[ non esiste x appartenente ad R giusto? ma il fatto che non sia definita in R non vuol dire che la funzione non esiste....ma che non esiste in R. Cioè se prendi la funzione radice  e consideri il campo più grande dei numeri complessi non avresti problemi a trovare la sua immagine.

Quindi funzione reale  a variabile reale poichè stai considerando quella funzione per determinate variabili reali che ovviamente ti danno come risultato un reale. se invece consideri le stesse funzione ossia, radice,potenza ecc...

per numeri non appartenenti all'insieme R ossia per x non appartenenti ad R o per x appartenenti ad R che non hanno immagine nell'insieme dei numeri reali allora non si tratta di funzioni reali a variabile reale.

invece ad esempio se prendi 3/x essa per valori x=0 non esisterà in nessun campo cioè la funzione non sarà definita per quel valore , il massimo che potrai fare è calcolare un limite di x->0 ossia studiare la funzione per valore che si avvicinano allo 0.

Capisco la scetticità nella comprensione,diciamo che alla fine sono concetti basilari ma ovviamente con tutti sti paroloni diventano molto astrusi.

Spero solo vivamente di essere stato d'aiuto e di non aver confuso ancora di più le tue idee 

 

 

 

Grazie mille per il chiarimento.

2 Risposte
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DA SOTTO IN SU.
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"E come le riconosco dai grafici?" NON C'E' UN "come", NON LE RICONOSCI.
I grafici sono disegni quotati nel riferimento piano Oxy e, con due coordinate reali, si possono rappresentare solo punti reali.
Per graficare la parte non reale di una funzione di variabile reale devi ricorrere a piani sovrapposti rappresentati con linee di colori diversi. Puoi vedere esempi, con le convenzioni grafiche di WolframAlpha, scegliendo "Complex-valued plots" sulla destra del paragrafo "Plots", ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%E2%88%9A%28x%5E2-1%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D3*x%2Bln%28x%5E2-1%29
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".... perché y = x^2/4 è una funzione da R in R ..." IMPRECISIONE: non "è", ma "può vedersi come".
Può vedersi come
* y = x^2/4: N → Q
* y = x^2/4: Z → Q
* y = x^2/4: Q → Q
* y = x^2/4: I → R
* y = x^2/4: R → R
* y = x^2/4: C → C
* y = x^2/4: QUALUNQUE → QUALUNQUE insieme numerico che sia sovrinsieme dei reali.
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".... perché ... y = √(x^2 - 1) non lo è?"
Come già visto nel grafico se il modulo di x reale è meno di uno allora il radicando è negativo e la radice ha valore immaginario, quindi non reale.
Similmente le funzioni logaritmo di argomento reale hanno valore complesso, quindi non reale, per argomento negativo.
Temo che la colpa delle tue perplessità stia nelle direttive per l'adottabilità dei libri di testo (il Presidente Scalfaro le avrebbe classificate come "lunari") che, in qualche contorto modo, scoraggiano gli autori dal fare discorsi che obblighino gli alunni a pensare prima di scrivere.
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"... non riesco a riconoscerle né algebricamente né da un grafico."
Da un grafico no, ma algebricamente si riconoscono dal fatto che è impossibile assegnare alla variabile un valore reale per il quale la funzione assuma un valore non reale.
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"So che è una funzione definita per valori reali, cioè il suo dominio è R o un sottoinsieme, e l’insieme di arrivo è stesso."
Qui escono fuori le debolezze di pensiero generate dalle genericità di linguaggio dei libri di testo.
In un libro d'Analisi scritto senza tener conto delle direttive di nessuno si trovano definizioni abbastanza pignole da evitare ogni equivoco futuro.
Per la funzione
* y = f(x): dominio → codominio
si definiscono i seguenti termini.
* dominio: l'insieme da cui prendere i valori di x [quindi non "R o un sottoinsieme", ma solo R].
* codominio: l'insieme in cui si trovano tutti i valori ben definiti di y.
* insieme di definizione: sottinsieme del dominio da cui si generano tutti i valori ben definiti di y.
* insieme di definizione reale (o razionale, o intero, ...): sottinsieme dell'insieme di definizione da cui si generano tutti i valori reali (o razionali, o interi, ...) di y.
QUINDI
quello che sai NON E' QUELLO CHE DICI DI SAPERE.
Avresti dovuto scrivere
* "So che è una funzione definita per valori reali, cioè il suo dominio è R, e il suo insieme di definizione reale coincide con l'intero insieme di definizione e il codominio è R stesso."
ma ovviamente non potevi scriverlo perché il tuo libro di testo non riporta le distinzioni e usa il termine "dominio" all'ingrosso e non solo all'inizio del capitolo (inoltre è probabile che il mio collega segua il libro invece della propria ricchezza culturale per non avere discussioni nel Consiglio di Classe con i Genitori).

 

eliminato

@Alex1 Tutt'e tre, ovviamente.

eliminato




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Allora dalla poca esperienza che ho posso dirti che : come tu stesso hai affermato una funzione reale a variabile reale è definita in un dominio che è un sottoinsieme di R ( o al massimo coincide) ma ha come codominio (cosa molto importante) tutto R ossia ad ogni x del dominio ci sarà sempre una corrispettiva immagine nell'insieme R.

Nel tuo caso la prima funzione non ha valori per cui non sia definita o per cui la x non associ la corrispettiva immagine nell'insieme R.

Mentre nel secondo caso hai dei valori per cui quella funzione non può essere definita nell'insieme dei numeri reali,

ad esempio se sotto la radice vai a sostituire alla x lo 0 avrai una radice con indice pari di un numero negativo che è definita invece nel campo dei numeri complessi.

Spero di aver chiarito qualche tuo dubbio 🙂

 

Ah ci tengo a precisare che mi sono permesso di dirti che la seconda funzione non è una funzione reale perchè tu stesso hai definito che debba avere dominio R , ma se facendo il campo di esistenza restringi il dominio (ossia vedi un suo sottoinsieme) essa diventerebbe reale per tutti i valori x>=1 🙂

@marco_biglietti

Postato da: @marco_biglietti

ha come codominio (cosa molto importante) tutto R ossia ad ogni x del dominio ci sarà sempre una corrispettiva immagine nell'insieme R

Grazie della risposta, ma non mi è chiara la parte sopra.

 
In realtà la parte evidenziata, non fa riferimento ad una funzione in generale? Cioè, il fatto che ad ogni $x$ corrisponde una $y$ non è una cosa già propria di ogni funzione?

🙂



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