DA SOTTO IN SU.
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"E come le riconosco dai grafici?" NON C'E' UN "come", NON LE RICONOSCI.
I grafici sono disegni quotati nel riferimento piano Oxy e, con due coordinate reali, si possono rappresentare solo punti reali.
Per graficare la parte non reale di una funzione di variabile reale devi ricorrere a piani sovrapposti rappresentati con linee di colori diversi. Puoi vedere esempi, con le convenzioni grafiche di WolframAlpha, scegliendo "Complex-valued plots" sulla destra del paragrafo "Plots", ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%E2%88%9A%28x%5E2-1%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D3*x%2Bln%28x%5E2-1%29
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".... perché y = x^2/4 è una funzione da R in R ..." IMPRECISIONE: non "è", ma "può vedersi come".
Può vedersi come
* y = x^2/4: N → Q
* y = x^2/4: Z → Q
* y = x^2/4: Q → Q
* y = x^2/4: I → R
* y = x^2/4: R → R
* y = x^2/4: C → C
* y = x^2/4: QUALUNQUE → QUALUNQUE insieme numerico che sia sovrinsieme dei reali.
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".... perché ... y = √(x^2 - 1) non lo è?"
Come già visto nel grafico se il modulo di x reale è meno di uno allora il radicando è negativo e la radice ha valore immaginario, quindi non reale.
Similmente le funzioni logaritmo di argomento reale hanno valore complesso, quindi non reale, per argomento negativo.
Temo che la colpa delle tue perplessità stia nelle direttive per l'adottabilità dei libri di testo (il Presidente Scalfaro le avrebbe classificate come "lunari") che, in qualche contorto modo, scoraggiano gli autori dal fare discorsi che obblighino gli alunni a pensare prima di scrivere.
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"... non riesco a riconoscerle né algebricamente né da un grafico."
Da un grafico no, ma algebricamente si riconoscono dal fatto che è impossibile assegnare alla variabile un valore reale per il quale la funzione assuma un valore non reale.
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"So che è una funzione definita per valori reali, cioè il suo dominio è R o un sottoinsieme, e l’insieme di arrivo è stesso."
Qui escono fuori le debolezze di pensiero generate dalle genericità di linguaggio dei libri di testo.
In un libro d'Analisi scritto senza tener conto delle direttive di nessuno si trovano definizioni abbastanza pignole da evitare ogni equivoco futuro.
Per la funzione
* y = f(x): dominio → codominio
si definiscono i seguenti termini.
* dominio: l'insieme da cui prendere i valori di x [quindi non "R o un sottoinsieme", ma solo R].
* codominio: l'insieme in cui si trovano tutti i valori ben definiti di y.
* insieme di definizione: sottinsieme del dominio da cui si generano tutti i valori ben definiti di y.
* insieme di definizione reale (o razionale, o intero, ...): sottinsieme dell'insieme di definizione da cui si generano tutti i valori reali (o razionali, o interi, ...) di y.
QUINDI
quello che sai NON E' QUELLO CHE DICI DI SAPERE.
Avresti dovuto scrivere
* "So che è una funzione definita per valori reali, cioè il suo dominio è R, e il suo insieme di definizione reale coincide con l'intero insieme di definizione e il codominio è R stesso."
ma ovviamente non potevi scriverlo perché il tuo libro di testo non riporta le distinzioni e usa il termine "dominio" all'ingrosso e non solo all'inizio del capitolo (inoltre è probabile che il mio collega segua il libro invece della propria ricchezza culturale per non avere discussioni nel Consiglio di Classe con i Genitori).
