un solido è costituito da un cilindro e da una piramide quadrangolare regolare avente la base circoscritta alla base del cilindro. L'altezza totale del solido è di 55 cm e l'altezza della piramide è i 5/6 di quella del cilindro. Sapendo che l'apotema della piramide misura 34 cm, calcola il volume del solido
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Conoscendo l'altezza totale del solido, possiamo calcolare l'altezza della piramide e del cilindro.
Possiamo pensare di rappresentare l'altezza della piramide con 5 segmenti congruenti e l'altezza del cilindro con 6 segmenti congruenti. Quindi un totale di 6+5 = 11 segmenti congruenti, ognuno di lunghezza:
L=55/11 = 5cm
Quindi:
H_piramide = 5*5 = 25 cm
H_cilindro = 30 cm
Lo spigolo di base della piramide è congruente al diametro della circonferenza inscritta.
Conoscendo l'apotema della piramide possiamo calcolare il raggio della circonferenza inscritta. L'apotema è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti l'altezza del solido e il raggio della circonferenza inscritta.
R= radice (apotema² - H_piramide²) = radice (34² - 25²) =
= 23,04 cm
Quindi lo spigolo della piramide quadrangolare è
Spigolo_base - piramide = 23,04*2 = 46,08 cm
Il volume del cilindro è:
V_cilindro = pi* R² * H_cilindro = 15930*pi cm³
Il volume della piramide è:
V_piramide = (1/3)*S_base * H_piramide = 17700 cm³
Il volume totale del solido è:
V_tot = 17700 + 15930*pi cm³ =~ 67745,57 cm³
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Genius II
un solido è costituito da un cilindro e da una piramide quadrangolare regolare avente la base circoscritta alla base del cilindro. L'altezza totale del solido è di H = 55 cm e l'altezza della piramide hp è i 5/6 di quella del cilindro hc . Sapendo che l'apotema a della piramide misura 34 cm, calcola il volume V del solido
chiamata H (55 cm) l'altezza complessiva hc+hp :
hc+5hc/6 = 11hc/6 = H
H*6 = 11hc
altezza cilindro hc = 6*H/11 = 55*6/11 = 30 cm
altezza piramide hp = H-hc = 55-30 = 25 cm
con riferimento alla piramide, note l'altezza hp = 25 cm e l'apotema a = 34 cm , possiamo calcolare la dimensione OH , pari alla metà dello spigolo della base quadrata della piramide ; poiché la base è circoscritta al cerchio di base del cilindro , di conseguenza OH = r (raggio del cerchio di base del cilindro)
OH = r = √a^2-hp^2 = √34^2-25^2 = 23,0 cm (approssimazione da 3° media)
volume cilindro Vc = π*r^2*hc = 3,14*23^2*30 = 49.832 cm^3
volume piramide Vp = (2r)^2*hp/3 = 46^2*25/3 = 17.633 cm^3
volume totale V = Vc+Vp = 49.832 + 17.633 = 67.465 cm^3
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