Avrei bisogno di un aiuto con questo problema:
Il triangolo rettangolo ABC ha cateti AB=6cm e AC =8cm . Da un punto M del lato AB conduci una corda MN parallela all'ipotenusa in modo che l'area del triangolo che ha per base la corda e per vertice un punto dell'ipotenusa sia i 2/9 dell'area del triangolo ABC. Determina la lunghezza del segmento AM.
Grazie
229
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Livello 1
Sia K il punto su BC. Le misure sono in cm, le aree in cm^2.
S_[MKN] = 2/9 * (6*8)/2 = 48/9 = 16/3
Posto AM = x con 0 < x < 6,
per similitudine AN = 8/6 x = 4/3 x
e per il teorema di Pitagora su AMN, MN = 5/3 x
L'altezza relativa a MN é dist(K; MN) = H - h = (6*8)/10 - x*4/3 x : 5/3 x = 4.8 - 4/5 x =
= 4/5 * (6 - x)
da cui l'equazione risolvente
1/2 * 5/3 x * 4/5 * (6 - x ) = 16/3 con 0 < x < 6
Riducendo
4x (6 - x) = 32
6x - x^2 = 8
x^2 - 6x + 8 = 0
scomponendo un trinomio caratteristico monico
x^2 - 2x - 4x + 8 = 0
x(x - 2) - 4(x - 2) = 0
(x - 2)(x - 4) = 0
x = 2 V x = 4, entrambe accettabili.
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Livello 7
Grazie mille
@eidosm ciao, io non ho capito questo passaggio
L'altezza relativa a MN é dist(K; MN) = H - h = (6*8)/10 - x*4/3 x : 5/3 x = 4.8 - 4/5 x =
= 4/5 * (6 - x)
Come si passa da 4.8 - 4/5 x a 4/5 * (6 - x)? A cosa corrisponde 6 - x?
Ho provato comunque a seguire il tuo ragionamento ma come fai ad ottenere 16/3?
Il primo membro è la formula dell'area del triangolo AMN ma 16/3?
1/2 * 5/3 x * 4/5 * (6 - x ) = 16/3 con 0 < x < 6
Andando avanti non ho capito nemmeno il resto e cioè:
Riducendo
4x (6 - x) = 32
6x - x^2 = 8
x^2 - 6x + 8 = 0
help me!
OH' = AH*√2 /3 = 1,6√3
MN = 10*√2 /3
ON = 8*√2 /3
OM = 6*√2 /3
area MNO = 24*2/9
AB/AC = AM/MN
6/10 = AM/(10*√2 /3)
AM = (6*10*√2 /3)/10 = 2√2
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Genius III
Ipotenusa ABC = radice(6^2 +8^2 ) = radice(100) = 10 cm;
altezza relativa all'ipotenusa:
AH = Area * 2 / ipotenusa = 24* 2 /10 = 4,8 cm;
1° teorema Euclide:
HB : AB = AB : CB;
HB : 6 = 6 : 10;
HB = 36 / 10 = 3,6 cm;
HC = 6,4 cm;
ABH è simile ad ABC; AQM è simile ad ABC; allora:
ABH è simile ad AQM;
AM : HB = AB : MQ;
AM : 3,6 = 6 : MQ;
AM = 6 * 3,6 / MQ;
AM : AB = MQ : CB
AM : 6 = MQ : 10;
6 * 3,6 / MQ = 6/10 * MQ;
21,6 = MQ^2 * 6/10;
MQ = radice(21,6 * 10/6) = radice(36) = 6 cm; (base del triangolo PQM).
altezza triangolo PQM = 48/9 * 2/ 6 = 16/9 = 1,778 cm. (HK)
AK = 4,8 - 16/9 = 3,02 cm
mi sono persa...
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Genius II
